Номер 12.4, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

12.4. Определите промежутки возрастания и убывания функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = 1 + x^7$;

2) $f(x) = 2 - x^{-10}$;

3) $f(x) = 3 + x^{\frac{1}{9}}$;

4) $f(x) = 4 - x^{16}$;

5) $f(x) = 5 - x^{\frac{13}{15}}$;

6) $f(x) = (-x)^{\frac{11}{13}}$;

7) $f(x) = (-x)^{-\frac{7}{8}}$;

8) $f(x) = (-x)^{-\frac{8}{11}}$;

9) $f(x) = (-x + 0,5)^{-\frac{11}{17}}$.

1)Для функции $f(x) = 1 + x^7$ область определения — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Найдем производную функции: $f'(x) = (1 + x^7)' = 7x^6$. Поскольку $x^6 \ge 0$ для любого действительного $x$, то производная $f'(x) = 7x^6 \ge 0$ на всей области определения, причём равенство нулю достигается только в одной точке $x=0$. Следовательно, функция является возрастающей на всей числовой прямой. Промежутков убывания у функции нет.

Ответ:возрастает на $(-\infty; +\infty)$.

2)Для функции $f(x) = 2 - x^{-10}$, или $f(x) = 2 - \frac{1}{x^{10}}$, область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Найдем производную: $f'(x) = (2 - x^{-10})' = -(-10)x^{-11} = 10x^{-11} = \frac{10}{x^{11}}$. Знак производной зависит от знака $x^{11}$.

При $x > 0$, $x^{11} > 0$, следовательно $f'(x) > 0$, и функция возрастает.

При $x < 0$, $x^{11} < 0$, следовательно $f'(x) < 0$, и функция убывает.

Ответ:возрастает на $(0; +\infty)$, убывает на $(-\infty; 0)$.

3)Для функции $f(x) = 3 + x^{\frac{1}{9}}$ (или $f(x) = 3 + \sqrt[9]{x}$) область определения — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Найдем производную: $f'(x) = (3 + x^{\frac{1}{9}})' = \frac{1}{9}x^{\frac{1}{9}-1} = \frac{1}{9}x^{-\frac{8}{9}} = \frac{1}{9\sqrt[9]{x^8}}$. Так как $x^8 \ge 0$ для любого $x$, то знаменатель $9\sqrt[9]{x^8}$ положителен для всех $x \neq 0$. Таким образом, $f'(x) > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Поскольку функция непрерывна в точке $x=0$, она возрастает на всей области определения.

Ответ:возрастает на $(-\infty; +\infty)$.

4)Для функции $f(x) = 4 - x^{\frac{11}{16}}$ показатель степени имеет четный знаменатель, поэтому функция определена для $x \ge 0$. Область определения $D(f) = [0; +\infty)$. Найдем производную: $f'(x) = (4 - x^{\frac{11}{16}})' = -\frac{11}{16}x^{\frac{11}{16}-1} = -\frac{11}{16}x^{-\frac{5}{16}} = -\frac{11}{16\sqrt[16]{x^5}}$. Для всех $x > 0$ в области определения, $\sqrt[16]{x^5} > 0$, поэтому $f'(x) < 0$. Следовательно, функция убывает на всей своей области определения.

Ответ:убывает на $[0; +\infty)$.

5)Для функции $f(x) = 5 - x^{\frac{13}{15}}$ показатель степени имеет нечетный знаменатель, поэтому функция определена для всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Найдем производную: $f'(x) = (5 - x^{\frac{13}{15}})' = -\frac{13}{15}x^{\frac{13}{15}-1} = -\frac{13}{15}x^{-\frac{2}{15}} = -\frac{13}{15\sqrt[15]{x^2}}$. Знаменатель $15\sqrt[15]{x^2}$ положителен для всех $x \neq 0$. Таким образом, $f'(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Поскольку функция непрерывна в точке $x=0$, она убывает на всей области определения.

Ответ:убывает на $(-\infty; +\infty)$.

6)Для функции $f(x) = (-x)^{\frac{11}{13}}$ показатель степени имеет нечетный знаменатель (13), поэтому функция определена для всех $x$, при которых выражение $-x$ является действительным числом, то есть для всех $x \in \mathbb{R}$. $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Используя правило дифференцирования сложной функции, найдем производную: $f'(x) = \frac{11}{13}(-x)^{\frac{11}{13}-1} \cdot (-x)' = \frac{11}{13}(-x)^{-\frac{2}{13}} \cdot (-1) = -\frac{11}{13\sqrt[13]{(-x)^2}}$. Знаменатель $13\sqrt[13]{(-x)^2}$ положителен для всех $x \neq 0$. Следовательно, $f'(x) < 0$ для всех $x \neq 0$. Функция непрерывна в точке $x=0$, значит, она убывает на всей числовой прямой.

Ответ:убывает на $(-\infty; +\infty)$.

7)Функция $f(x) = (-x)^{-\frac{7}{8}} = \frac{1}{(-x)^{\frac{7}{8}}}$. В знаменателе стоит степень с четным знаменателем (8), поэтому основание степени должно быть положительным: $-x > 0$, что означает $x < 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0)$. Найдем производную: $f'(x) = (-\frac{7}{8})(-x)^{-\frac{7}{8}-1} \cdot (-x)' = -\frac{7}{8}(-x)^{-\frac{15}{8}} \cdot (-1) = \frac{7}{8}(-x)^{-\frac{15}{8}} = \frac{7}{8(-x)^{\frac{15}{8}}}$. Для всех $x < 0$, выражение $-x$ положительно, поэтому знаменатель $8(-x)^{\frac{15}{8}}$ положителен. Следовательно, $f'(x) > 0$ на всей области определения.

Ответ:возрастает на $(-\infty; 0)$.

8)Функция $f(x) = (-x)^{-\frac{8}{11}} = \frac{1}{(-x)^{\frac{8}{11}}}$. Показатель степени имеет нечетный знаменатель (11), поэтому функция определена для всех $x$, при которых основание не равно нулю: $-x \neq 0$, то есть $x \neq 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Найдем производную: $f'(x) = (-\frac{8}{11})(-x)^{-\frac{8}{11}-1} \cdot (-x)' = -\frac{8}{11}(-x)^{-\frac{19}{11}} \cdot (-1) = \frac{8}{11}(-x)^{-\frac{19}{11}} = \frac{8}{11(-x)^{\frac{19}{11}}}$.

При $x < 0$, выражение $-x > 0$, поэтому $(-x)^{\frac{19}{11}} > 0$ и $f'(x) > 0$. Функция возрастает.

При $x > 0$, выражение $-x < 0$, поэтому $(-x)^{\frac{19}{11}} < 0$ и $f'(x) < 0$. Функция убывает.

Ответ:возрастает на $(-\infty; 0)$, убывает на $(0; +\infty)$.

9)Функция $f(x) = (-x + 0,5)^{-\frac{11}{17}} = \frac{1}{(-x+0,5)^{\frac{11}{17}}}$. Показатель степени имеет нечетный знаменатель (17), поэтому функция определена, когда основание не равно нулю: $-x + 0,5 \neq 0$, то есть $x \neq 0,5$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0,5) \cup (0,5; +\infty)$. Найдем производную: $f'(x) = (-\frac{11}{17})(-x+0,5)^{-\frac{11}{17}-1} \cdot (-x+0,5)' = -\frac{11}{17}(-x+0,5)^{-\frac{28}{17}} \cdot (-1) = \frac{11}{17}(-x+0,5)^{-\frac{28}{17}} = \frac{11}{17(-x+0,5)^{\frac{28}{17}}}$. Выражение в знаменателе $(-x+0,5)^{\frac{28}{17}} = (\sqrt[17]{-x+0,5})^{28}$ всегда положительно, так как возводится в четную степень (28). Следовательно, $f'(x) > 0$ на всей области определения.

Ответ:возрастает на $(-\infty; 0,5)$ и на $(0,5; +\infty)$.