Номер 12.8, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

12.8. Приведите примеры убывающих степенных функций с дробными показателями для:

1) $x \in R$

2) $x \in [0; +\infty)$

3) $x \in (0; +\infty)$

Степенная функция имеет вид $y = x^a$, где $a$ — показатель степени. Функция является убывающей на некотором множестве, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

1) $x \in R$

Требуется привести пример степенной функции $y=x^a$ с дробным показателем $a$, которая убывает на всей числовой прямой $R$.

Во-первых, чтобы функция была определена для всех $x \in R$, включая точку $x=0$, ее показатель степени $a$ должен быть строго положительным ($a>0$). Если $a \le 0$, функция $y=x^a$ не определена в точке $x=0$, так как $x^0$ не определено для $x=0$ в общем случае, а при $a<0$ происходит деление на ноль.

Во-вторых, рассмотрим поведение функции с показателем $a>0$ на множестве положительных чисел. Возьмем две точки, например, $x_1=1$ и $x_2=2$. Так как $1 < 2$, для убывающей функции должно выполняться $f(1) > f(2)$.

Однако для функции $y=x^a$ с $a>0$ мы имеем: $f(1) = 1^a = 1$ и $f(2) = 2^a$. Поскольку $a>0$, то $2^a > 2^0 = 1$. Следовательно, $f(1) < f(2)$.

Это противоречит определению убывающей функции. Таким образом, степенная функция с положительным показателем не может убывать на $R$. А функция с неположительным показателем не определена на всем множестве $R$. Следовательно, привести требуемый пример невозможно.

Ответ: Степенной функции с дробным показателем, убывающей на всем множестве действительных чисел $R$, не существует.

2) $x \in [0; +\infty)$

Требуется привести пример функции $y=x^a$, убывающей на промежутке $[0; +\infty)$.

Чтобы функция была определена в точке $x=0$, необходимо, чтобы показатель $a$ был положительным ($a>0$). Если $a=0$, функция $y=x^0=1$ является постоянной, а не убывающей. Если $a<0$, функция не определена в $x=0$.

Однако, как было показано в предыдущем пункте, для любого $a>0$ функция $y=x^a$ является возрастающей на промежутке $(0; +\infty)$, так как для $0 < x_1 < x_2$ будет $x_1^a < x_2^a$. Это противоречит требованию убывания.

Если же выбрать $a<0$ (чтобы функция убывала для $x>0$), то она не будет определена в точке $x=0$, и ее область определения будет $(0; +\infty)$, а не $[0; +\infty)$.

Ответ: Степенной функции с дробным показателем, убывающей на промежутке $[0; +\infty)$, не существует.

3) $x \in (0; +\infty)$

На промежутке $(0; +\infty)$ степенная функция $y=x^a$ определена для любого действительного показателя $a$.

Для нахождения условия убывания рассмотрим производную функции: $y' = (x^a)' = ax^{a-1}$.

На промежутке $(0; +\infty)$ множитель $x^{a-1}$ всегда положителен. Следовательно, знак производной совпадает со знаком показателя $a$.

Функция будет убывающей, если ее производная $y' < 0$. Это условие выполняется при $a < 0$.

Таким образом, любая степенная функция с отрицательным дробным показателем будет убывающей на промежутке $(0; +\infty)$.

Приведем примеры:

1. Пусть $a = -1/2$. Функция $y = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$. Показатель $a = -1/2$ является дробным и отрицательным, следовательно, функция убывает на $(0; +\infty)$.

2. Пусть $a = -5/3$. Функция $y = x^{-5/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^5}}$. Показатель $a = -5/3$ является дробным и отрицательным, следовательно, функция убывает на $(0; +\infty)$.

Ответ: Например, $y = x^{-1/2}$ или $y = x^{-5/3}$.