Номер 12.3, страница 101 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

12.3. Определите промежутки знакопостоянства функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = x^3$;

2) $f(x) = x^{-4}$;

3) $f(x) = x^{\frac{1}{7}};

4) $f(x) = (1+x)^{\frac{7}{10}};

5) $f(x) = x^{\frac{5}{8}} + 2;

6) $f(x) = x^{\frac{6}{5}} - 1;

7) $f(x) = (3-x)^{-\frac{5}{6}};

8) $f(x) = 1 - x^{-\frac{4}{7}};

9) $f(x) = (x+2)^{-\frac{3}{5}}.

1) Дана функция $f(x) = x^3$.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем нули функции, решив уравнение $f(x) = 0$:

$x^3 = 0 \implies x = 0$.

Точка $x=0$ разбивает числовую прямую на два интервала: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Определим знак функции на каждом интервале:

При $x < 0$ (например, $x=-1$), $f(-1) = (-1)^3 = -1 < 0$.

При $x > 0$ (например, $x=1$), $f(1) = 1^3 = 1 > 0$.

Ответ: функция положительна при $x \in (0; +\infty)$, отрицательна при $x \in (-\infty; 0)$.

2) Дана функция $f(x) = x^{-4}$.

Функцию можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{x^4}$.

Область определения: знаменатель не может быть равен нулю, т.е. $x^4 \neq 0 \implies x \neq 0$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Функция не имеет нулей, так как уравнение $\frac{1}{x^4} = 0$ не имеет решений.

Для любого $x$ из области определения, $x^4$ является положительным числом, так как показатель степени 4 — четное число.

Следовательно, $f(x) = \frac{1}{x^4}$ всегда положительна на всей своей области определения.

Ответ: функция положительна на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

3) Дана функция $f(x) = x^{\frac{1}{7}}$.

Функцию можно представить в виде $f(x) = \sqrt[7]{x}$.

Область определения: корень нечетной степени (7) определен для любого действительного числа $x$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем нули функции: $x^{\frac{1}{7}} = 0 \implies x = 0$.

Знак функции $f(x) = \sqrt[7]{x}$ совпадает со знаком подкоренного выражения $x$.

Следовательно, $f(x) > 0$ при $x > 0$, и $f(x) < 0$ при $x < 0$.

Ответ: функция положительна при $x \in (0; +\infty)$, отрицательна при $x \in (-\infty; 0)$.

4) Дана функция $f(x) = (1 + x)^{\frac{7}{9}}$.

Функцию можно представить в виде $f(x) = \sqrt[9]{(1+x)^7}$.

Область определения: корень нечетной степени (9) определен для любого действительного значения выражения в основании. Таким образом, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем нули функции: $(1 + x)^{\frac{7}{9}} = 0 \implies 1+x = 0 \implies x = -1$.

Знак функции $f(x) = \sqrt[9]{(1+x)^7}$ совпадает со знаком выражения $(1+x)^7$, который, в свою очередь, совпадает со знаком $1+x$.

Если $1+x > 0$, т.е. $x > -1$, то $f(x) > 0$.

Если $1+x < 0$, т.е. $x < -1$, то $f(x) < 0$.

Ответ: функция положительна при $x \in (-1; +\infty)$, отрицательна при $x \in (-\infty; -1)$.

5) Дана функция $f(x) = x^{\frac{5}{8}} + 2$.

Функцию можно представить в виде $f(x) = \sqrt[8]{x^5} + 2$.

Область определения: для степенной функции с дробным показателем, знаменатель которого четный (8), основание должно быть неотрицательным. $x \ge 0$. Таким образом, $D(f) = [0; +\infty)$.

Для любого $x$ из области определения $x \ge 0$, следовательно, $x^{\frac{5}{8}} = \sqrt[8]{x^5} \ge 0$.

Тогда $f(x) = x^{\frac{5}{8}} + 2 \ge 0 + 2 = 2$.

Функция всегда положительна на своей области определения.

Ответ: функция положительна при $x \in [0; +\infty)$.

6) Дана функция $f(x) = x^{\frac{6}{5}} - 1$.

Функцию можно представить в виде $f(x) = \sqrt[5]{x^6} - 1$.

Область определения: корень нечетной степени (5) определен для любого действительного числа. Таким образом, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем нули функции: $x^{\frac{6}{5}} - 1 = 0 \implies x^{\frac{6}{5}} = 1$. Это уравнение равносильно $x^6 = 1^5 = 1$, откуда $x = 1$ или $x = -1$.

Нули функции $x = -1$ и $x = 1$ разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.

При $x \in (-\infty; -1)$ (например, $x=-2$), $f(-2) = (-2)^{\frac{6}{5}} - 1 = \sqrt[5]{64} - 1 > 0$.

При $x \in (-1; 1)$ (например, $x=0$), $f(0) = 0^{\frac{6}{5}} - 1 = -1 < 0$.

При $x \in (1; +\infty)$ (например, $x=2$), $f(2) = 2^{\frac{6}{5}} - 1 = \sqrt[5]{64} - 1 > 0$.

Ответ: функция положительна на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$, отрицательна на промежутке $(-1; 1)$.

7) Дана функция $f(x) = (3 - x)^{-\frac{5}{6}}$.

Функцию можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{(3 - x)^{\frac{5}{6}}} = \frac{1}{\sqrt[6]{(3-x)^5}}$.

Область определения: основание степени $3-x$ должно быть строго положительным, так как показатель степени $\frac{5}{6}$ имеет четный знаменатель, а отрицательный показатель степени перемещает выражение в знаменатель. Итак, $3-x > 0 \implies x < 3$. $D(f) = (-\infty; 3)$.

На всей области определения $3-x > 0$, поэтому $(3-x)^5 > 0$ и $\sqrt[6]{(3-x)^5} > 0$.

Следовательно, функция $f(x)$, равная 1, деленному на положительное число, всегда положительна.

Ответ: функция положительна при $x \in (-\infty; 3)$.

8) Дана функция $f(x) = 1 - x^{-\frac{4}{7}}$.

Функцию можно представить в виде $f(x) = 1 - \frac{1}{x^{\frac{4}{7}}} = 1 - \frac{1}{\sqrt[7]{x^4}}$.

Область определения: из-за отрицательного показателя степени $x \neq 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем нули функции: $1 - x^{-\frac{4}{7}} = 0 \implies x^{-\frac{4}{7}} = 1 \implies x^{\frac{4}{7}} = 1$. Это уравнение равносильно $x^4 = 1^7 = 1$, откуда $x=1$ или $x=-1$.

Нули $x=-1, x=1$ и точка разрыва $x=0$ разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.

Рассмотрим знак $f(x) = 1 - \frac{1}{\sqrt[7]{x^4}}$. Выражение $x^4$ всегда положительно при $x\neq 0$.

Если $|x| > 1$, то $x^4 > 1$, $\sqrt[7]{x^4} > 1$, и $\frac{1}{\sqrt[7]{x^4}} < 1$. Тогда $f(x) > 0$. Это происходит на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$.

Если $0 < |x| < 1$, то $0 < x^4 < 1$, $0 < \sqrt[7]{x^4} < 1$, и $\frac{1}{\sqrt[7]{x^4}} > 1$. Тогда $f(x) < 0$. Это происходит на интервалах $(-1; 0)$ и $(0; 1)$.

Ответ: функция положительна на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$, отрицательна на промежутках $(-1; 0)$ и $(0; 1)$.

9) Дана функция $f(x) = (x + 2)^{-\frac{3}{5}}$.

Функцию можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{(x+2)^{\frac{3}{5}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{(x+2)^3}}$.

Область определения: из-за отрицательного показателя степени основание не может быть равно нулю: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$. $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Функция не имеет нулей. Знак функции определяется знаком знаменателя $\sqrt[5]{(x+2)^3}$, который совпадает со знаком выражения $x+2$.

Если $x+2 > 0$, т.е. $x > -2$, то знаменатель положителен и $f(x) > 0$.

Если $x+2 < 0$, т.е. $x < -2$, то знаменатель отрицателен и $f(x) < 0$.

Ответ: функция положительна при $x \in (-2; +\infty)$, отрицательна при $x \in (-\infty; -2)$.