Номер 11.13, страница 95 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

11.13. Представьте в виде рациональной дроби выражение:

1) $\frac{3x^3}{5y^3} : \frac{27x^5}{4y^4} \cdot \frac{45}{8y^2x^{-3}}$

2) $\frac{25a(b-1)}{81d} : \frac{5cd^2}{27ab} : \frac{a^3(b-1)}{2c^3d^3}$

1) Чтобы представить выражение в виде рациональной дроби, необходимо выполнить указанные действия: деление и умножение. Согласно порядку действий, сначала выполним деление, которое заменяется умножением на обратную дробь, а затем умножение.

Исходное выражение: $\frac{3x^3}{5y^3} : \frac{27x^5}{4y^4} \cdot \frac{45}{8y^2x^{-3}}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{3x^3}{5y^3} \cdot \frac{4y^4}{27x^5} \cdot \frac{45}{8y^2x^{-3}}$

Теперь объединим все множители в одну дробь, записав произведения числителей в новый числитель, а произведения знаменателей — в новый знаменатель:

$\frac{3x^3 \cdot 4y^4 \cdot 45}{5y^3 \cdot 27x^5 \cdot 8y^2x^{-3}}$

Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Множитель $x^{-3}$ в знаменателе равен $\frac{1}{x^3}$, поэтому мы можем перенести $x^3$ в числитель:

$\frac{3x^3 \cdot 4y^4 \cdot 45 \cdot x^3}{5y^3 \cdot 27x^5 \cdot 8y^2}$

Сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{3 \cdot 4 \cdot 45}{5 \cdot 27 \cdot 8} \cdot \frac{x^3 \cdot x^3}{x^5} \cdot \frac{y^4}{y^3 \cdot y^2}$

Упростим числовое выражение, сокращая дроби:

$\frac{3 \cdot 4 \cdot (5 \cdot 9)}{5 \cdot (3 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 4)} = \frac{1}{2}$

Упростим выражения с переменными, используя правила действий со степенями $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{x^{3+3}}{x^5} = \frac{x^6}{x^5} = x^{6-5} = x$

$\frac{y^4}{y^{3+2}} = \frac{y^4}{y^5} = y^{4-5} = y^{-1} = \frac{1}{y}$

Соберем все упрощенные части вместе:

$\frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{1}{y} = \frac{x}{2y}$

Ответ: $\frac{x}{2y}$

2) Данное выражение содержит два последовательных действия деления. Выполним их слева направо, заменяя каждое деление на умножение на обратную дробь.

Исходное выражение: $\frac{25a(b-1)}{81d} : \frac{5cd^2}{27ab} : \frac{a^3(b-1)}{2c^3d^3}$

Заменим оба знака деления на умножение на соответствующие обратные дроби:

$\frac{25a(b-1)}{81d} \cdot \frac{27ab}{5cd^2} \cdot \frac{2c^3d^3}{a^3(b-1)}$

Запишем все в виде одной дроби:

$\frac{25a(b-1) \cdot 27ab \cdot 2c^3d^3}{81d \cdot 5cd^2 \cdot a^3(b-1)}$

Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Начнем с выражения $(b-1)$ (при условии, что $b \neq 1$):

$\frac{25a \cdot 27ab \cdot 2c^3d^3}{81d \cdot 5cd^2 \cdot a^3}$

Теперь сократим числовые коэффициенты: $25$ и $5$ на $5$; $27$ и $81$ на $27$.

$\frac{(5 \cdot \sout{5}) \cdot \sout{27} \cdot 2}{(3 \cdot \sout{27}) \cdot \sout{5}} = \frac{5 \cdot 2}{3} = \frac{10}{3}$

Сгруппируем переменные и проведем сокращение:

$\frac{10}{3} \cdot \frac{(a \cdot a) \cdot b \cdot c^3 \cdot d^3}{d \cdot c \cdot d^2 \cdot a^3} = \frac{10}{3} \cdot \frac{a^2 b c^3 d^3}{a^3 c d^3}$

Упростим степени переменных:

$\frac{a^2}{a^3} = a^{2-3} = a^{-1} = \frac{1}{a}$

$\frac{c^3}{c} = c^{3-1} = c^2$

$\frac{d^3}{d \cdot d^2} = \frac{d^3}{d^3} = 1$

Переменная $b$ остается в числителе. Объединим все части:

$\frac{10}{3} \cdot \frac{1}{a} \cdot b \cdot c^2 = \frac{10bc^2}{3a}$

Ответ: $\frac{10bc^2}{3a}$