Номер 12.1, страница 101 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

12.1. Найдите область определения функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = x^5$;

2) $f(x) = x^{-7}$;

3) $f(x) = x^{\frac{1}{5}};

4) $f(x) = x^{\frac{9}{10}};

5) $f(x) = x^{\frac{4}{7}};

6) $f(x) = x^{\frac{11}{13}};

7) $f(x) = x^{-\frac{3}{4}};

8) $f(x) = x^{-\frac{2}{3}};

9) $f(x) = x^{-\frac{5}{7}}.$

1) $f(x) = x^5$

Данная функция является степенной функцией с натуральным показателем степени ($p=5$). Такие функции определены для всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2) $f(x) = x^{-7}$

Данная функция является степенной функцией с целым отрицательным показателем степени ($p=-7$). Её можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{x^7}$. Функция не определена, когда знаменатель равен нулю, то есть при $x=0$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3) $f(x) = x^{\frac{1}{5}}$

Данная функция является степенной функцией с дробно-рациональным показателем $p = \frac{1}{5}$. Её можно представить в виде $f(x) = \sqrt[5]{x}$. Так как знаменатель показателя степени (5) является нечетным числом, корень нечетной степени извлекается из любого действительного числа.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

4) $f(x) = x^{\frac{9}{10}}$

Данная функция является степенной функцией с дробно-рациональным показателем $p = \frac{9}{10}$. Её можно представить в виде $f(x) = \sqrt[10]{x^9}$. Так как знаменатель показателя степени (10) является четным числом, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. То есть, $x^9 \ge 0$, что равносильно $x \ge 0$.

Ответ: $D(f) = [0; +\infty)$.

5) $f(x) = x^{\frac{4}{7}}$

Данная функция является степенной функцией с дробно-рациональным показателем $p = \frac{4}{7}$. Её можно представить в виде $f(x) = \sqrt[7]{x^4}$. Так как знаменатель показателя степени (7) является нечетным числом, функция определена для всех действительных чисел (поскольку $x^4$ всегда неотрицательно, и корень нечетной степени из неотрицательного числа всегда существует).

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

6) $f(x) = x^{\frac{11}{13}}$

Данная функция является степенной функцией с дробно-рациональным показателем $p = \frac{11}{13}$. Её можно представить в виде $f(x) = \sqrt[13]{x^{11}}$. Так как знаменатель показателя степени (13) является нечетным числом, функция определена для всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

7) $f(x) = x^{-\frac{3}{4}}$

Данная функция является степенной функцией с отрицательным дробно-рациональным показателем $p = -\frac{3}{4}$. Её можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$. Здесь два ограничения:

1. Знаменатель показателя степени (4) — четное число, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^3 \ge 0$, что равносильно $x \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt[4]{x^3} \ne 0$, что означает $x \ne 0$.

Объединяя эти два условия ($x \ge 0$ и $x \ne 0$), получаем $x > 0$.

Ответ: $D(f) = (0; +\infty)$.

8) $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$

Данная функция является степенной функцией с отрицательным дробно-рациональным показателем $p = -\frac{2}{3}$. Её можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$.

1. Знаменатель показателя степени (3) — нечетное число, поэтому корень $\sqrt[3]{x^2}$ определен для любого $x$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt[3]{x^2} \ne 0$, что означает $x^2 \ne 0$, то есть $x \ne 0$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

9) $f(x) = x^{-\frac{5}{7}}$

Данная функция является степенной функцией с отрицательным дробно-рациональным показателем $p = -\frac{5}{7}$. Её можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{x^{\frac{5}{7}}} = \frac{1}{\sqrt[7]{x^5}}$.

1. Знаменатель показателя степени (7) — нечетное число, поэтому корень $\sqrt[7]{x^5}$ определен для любого $x$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt[7]{x^5} \ne 0$, что означает $x^5 \ne 0$, то есть $x \ne 0$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.