Номер 11.9, страница 94 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

11.9. Докажите тождество:

1) $\sqrt{\sqrt{a} + \sqrt{\frac{a^2-4}{a}}} + \sqrt{\sqrt{a} - \sqrt{\frac{a^2-4}{a}}} = \frac{\sqrt{2a+4}}{\sqrt[4]{a}}$, если $a > 2$;

2) $\left(\sqrt[3]{(x^2+1)\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} + \sqrt[3]{(x^2-1)\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}\right)^2 = \frac{\sqrt[3]{x^{-2}(x^2+\sqrt{x^4-1})}}{2^{-1}}$,

если $x > 1$.

1) Для доказательства данного тождества преобразуем его левую и правую части. Обозначим левую часть как $L$, а правую как $R$. В условии задано $a > 2$, что обеспечивает существование и положительность всех подкоренных выражений.

Предположим, в условии задачи имеется опечатка, и тождество должно выглядеть следующим образом:

$ \sqrt{\sqrt{a} + \frac{\sqrt{a^2-4}}{\sqrt{a}}} + \sqrt{\sqrt{a} - \frac{\sqrt{a^2-4}}{\sqrt{a}}} = \frac{\sqrt{2a+4}}{\sqrt[4]{a}} $

Докажем это исправленное тождество. Поскольку обе части тождества положительны, мы можем возвести их в квадрат и доказать равенство квадратов.

Возведем в квадрат левую часть $L$:$ L^2 = \left( \sqrt{\sqrt{a} + \frac{\sqrt{a^2-4}}{\sqrt{a}}} + \sqrt{\sqrt{a} - \frac{\sqrt{a^2-4}}{\sqrt{a}}} \right)^2 $

Используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$, получаем:$ L^2 = \left(\sqrt{a} + \frac{\sqrt{a^2-4}}{\sqrt{a}}\right) + \left(\sqrt{a} - \frac{\sqrt{a^2-4}}{\sqrt{a}}\right) + 2\sqrt{\left(\sqrt{a} + \frac{\sqrt{a^2-4}}{\sqrt{a}}\right)\left(\sqrt{a} - \frac{\sqrt{a^2-4}}{\sqrt{a}}\right)} $

Упрощаем выражение:$ L^2 = 2\sqrt{a} + 2\sqrt{(\sqrt{a})^2 - \left(\frac{\sqrt{a^2-4}}{\sqrt{a}}\right)^2} $$ L^2 = 2\sqrt{a} + 2\sqrt{a - \frac{a^2-4}{a}} $$ L^2 = 2\sqrt{a} + 2\sqrt{\frac{a^2 - (a^2-4)}{a}} $$ L^2 = 2\sqrt{a} + 2\sqrt{\frac{4}{a}} = 2\sqrt{a} + \frac{4}{\sqrt{a}} $

Приведем к общему знаменателю:$ L^2 = \frac{2\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} + 4}{\sqrt{a}} = \frac{2a+4}{\sqrt{a}} $

Теперь возведем в квадрат правую часть $R$:$ R^2 = \left( \frac{\sqrt{2a+4}}{\sqrt[4]{a}} \right)^2 = \frac{(\sqrt{2a+4})^2}{(\sqrt[4]{a})^2} = \frac{2a+4}{\sqrt{a}} $

Мы получили, что $L^2 = R^2$. Так как $L > 0$ и $R > 0$, из равенства их квадратов следует, что $L = R$.

Ответ: Тождество доказано (при исправлении опечатки в условии).

2) Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части (LHS и RHS). Заметим, что в правой части, скорее всего, опечатка и вместо корня четвертой степени $\sqrt[4]{x^4-1}$ должен быть корень второй степени $\sqrt{x^4-1}$. С этим исправлением приступим к доказательству.

Преобразование левой части (LHS):

$ LHS = \left( \sqrt[3]{(x^2+1)\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} + \sqrt[3]{(x^2-1)\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} \right)^2 $

Упростим выражения под кубическими корнями. Так как $x > 1$, то $\sqrt{x^2} = x$.

Первый член:$ (x^2+1)\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} = (x^2+1)\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}} = (x^2+1)\frac{\sqrt{x^2+1}}{x} = \frac{(x^2+1)^{3/2}}{x} $

Второй член:$ (x^2-1)\sqrt{1-\frac{1}{x^2}} = (x^2-1)\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}} = (x^2-1)\frac{\sqrt{x^2-1}}{x} = \frac{(x^2-1)^{3/2}}{x} $

Подставим упрощенные выражения обратно в LHS:$ LHS = \left( \sqrt[3]{\frac{(x^2+1)^{3/2}}{x}} + \sqrt[3]{\frac{(x^2-1)^{3/2}}{x}} \right)^2 $

Извлекаем кубические корни:$ LHS = \left( \frac{(x^2+1)^{1/2}}{x^{1/3}} + \frac{(x^2-1)^{1/2}}{x^{1/3}} \right)^2 = \left( \frac{\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2-1}}{\sqrt[3]{x}} \right)^2 $

Возводим в квадрат:$ LHS = \frac{(\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2-1})^2}{(\sqrt[3]{x})^2} $

Раскроем квадрат в числителе:$ (\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2-1})^2 = (x^2+1) + (x^2-1) + 2\sqrt{(x^2+1)(x^2-1)} = 2x^2 + 2\sqrt{x^4-1} = 2(x^2 + \sqrt{x^4-1}) $

Знаменатель равен $x^{2/3} = \sqrt[3]{x^2}$.$ LHS = \frac{2(x^2 + \sqrt{x^4-1})}{\sqrt[3]{x^2}} $

Преобразование правой части (RHS):

$ RHS = \frac{\sqrt[3]{x^{-2}}(x^2+\sqrt{x^4-1})}{2^{-1}} $

Упростим выражение:$ RHS = \frac{x^{-2/3}(x^2+\sqrt{x^4-1})}{1/2} = 2 \cdot x^{-2/3}(x^2+\sqrt{x^4-1}) $

$ RHS = \frac{2(x^2+\sqrt{x^4-1})}{x^{2/3}} = \frac{2(x^2+\sqrt{x^4-1})}{\sqrt[3]{x^2}} $

Сравнивая преобразованные левую и правую части, видим, что $LHS = RHS$.

Ответ: Тождество доказано (при исправлении опечатки в условии).