Номер 11.12, страница 95 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

11.12. 1) Длина пути между двумя городами по реке составляет 90 км. Теплоход на весь рейс туда и обратно затрачивает 7,5 ч. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки составляет $20\%$ от собственной скорости теплохода.

2) За полчаса катер проходит по течению реки такое же расстояние, что и за 40 мин против течения, причем 2 км против течения он проходит за 10 мин. Найдите собственную скорость катера и скорость течения реки.

1)

Пусть $v_т$ (км/ч) — собственная скорость теплохода (скорость в стоячей воде), а $v_р$ (км/ч) — скорость течения реки.

Согласно условию задачи, скорость течения реки составляет 20% от собственной скорости теплохода, то есть:

$v_р = 0.2 \cdot v_т$

Скорость теплохода по течению реки равна $v_т + v_р$, а против течения — $v_т - v_р$.

Подставим выражение для $v_р$ в формулы скорости по и против течения:

Скорость по течению: $v_т + 0.2 v_т = 1.2 v_т$ (км/ч).

Скорость против течения: $v_т - 0.2 v_т = 0.8 v_т$ (км/ч).

Расстояние между городами составляет $S = 90$ км.

Время, затраченное на путь по течению: $t_{по} = \frac{S}{1.2 v_т} = \frac{90}{1.2 v_т}$.

Время, затраченное на путь против течения: $t_{против} = \frac{S}{0.8 v_т} = \frac{90}{0.8 v_т}$.

Общее время на весь рейс туда и обратно составляет 7,5 ч. Составим уравнение:

$t_{по} + t_{против} = 7.5$

$\frac{90}{1.2 v_т} + \frac{90}{0.8 v_т} = 7.5$

Вынесем $\frac{90}{v_т}$ за скобки:

$\frac{90}{v_т} \left( \frac{1}{1.2} + \frac{1}{0.8} \right) = 7.5$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$\frac{1}{1.2} + \frac{1}{0.8} = \frac{0.8 + 1.2}{1.2 \cdot 0.8} = \frac{2}{0.96}$

Подставим это значение в уравнение:

$\frac{90}{v_т} \cdot \frac{2}{0.96} = 7.5$

$\frac{180}{0.96 v_т} = 7.5$

Теперь выразим $v_т$:

$v_т = \frac{180}{0.96 \cdot 7.5} = \frac{180}{7.2} = 25$

Таким образом, собственная скорость теплохода равна 25 км/ч.

Ответ: собственная скорость теплохода 25 км/ч.

2)

Пусть $v_к$ (км/ч) — собственная скорость катера, а $v_р$ (км/ч) — скорость течения реки.

Скорость катера по течению реки равна $v_{по} = v_к + v_р$, а против течения — $v_{против} = v_к - v_р$.

Из условия известно, что 2 км против течения катер проходит за 10 мин. Переведем минуты в часы: 10 мин = $\frac{10}{60}$ ч = $\frac{1}{6}$ ч.

Найдем скорость катера против течения:

$v_{против} = \frac{S}{t} = \frac{2 \text{ км}}{1/6 \text{ ч}} = 12$ км/ч.

Таким образом, мы получили первое уравнение:

$v_к - v_р = 12$

Далее, в условии сказано, что за полчаса (0,5 ч) по течению катер проходит такое же расстояние, что и за 40 мин против течения. Переведем 40 мин в часы: 40 мин = $\frac{40}{60}$ ч = $\frac{2}{3}$ ч.

Расстояние, пройденное по течению за 0,5 ч: $S_{по} = v_{по} \cdot 0.5 = (v_к + v_р) \cdot 0.5$.

Расстояние, пройденное против течения за $\frac{2}{3}$ ч: $S_{против} = v_{против} \cdot \frac{2}{3}$.

Так как мы уже нашли, что $v_{против} = 12$ км/ч, то $S_{против} = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8$ км.

Приравниваем расстояния: $S_{по} = S_{против}$.

$(v_к + v_р) \cdot 0.5 = 8$

$v_к + v_р = \frac{8}{0.5} = 16$.

Мы получили второе уравнение:

$v_к + v_р = 16$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} v_к - v_р = 12 \\ v_к + v_р = 16 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения:

$(v_к - v_р) + (v_к + v_р) = 12 + 16$

$2v_к = 28$

$v_к = 14$ км/ч.

Подставим значение $v_к$ во второе уравнение, чтобы найти $v_р$:

$14 + v_р = 16$

$v_р = 16 - 14 = 2$ км/ч.

Ответ: собственная скорость катера 14 км/ч, скорость течения реки 2 км/ч.