Страница 94 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

11.5. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{7}{2\sqrt{3} + \sqrt{5}};

2) $\frac{11}{\sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{5}};

3) $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{3}};

4) $\frac{6}{\sqrt{10} - \sqrt{6} + 5 - \sqrt{15}}.$

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{7}{2\sqrt{3} + \sqrt{5}}$, домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным для $2\sqrt{3} + \sqrt{5}$ является выражение $2\sqrt{3} - \sqrt{5}$.

$\frac{7}{2\sqrt{3} + \sqrt{5}} = \frac{7 \cdot (2\sqrt{3} - \sqrt{5})}{(2\sqrt{3} + \sqrt{5}) \cdot (2\sqrt{3} - \sqrt{5})}$

В знаменателе используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(2\sqrt{3} + \sqrt{5})(2\sqrt{3} - \sqrt{5}) = (2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 3 - 5 = 12 - 5 = 7$.

Подставим результат в нашу дробь:

$\frac{7(2\sqrt{3} - \sqrt{5})}{7} = 2\sqrt{3} - \sqrt{5}$.

Ответ: $2\sqrt{3} - \sqrt{5}$.

2) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{11}{\sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{5}}$, используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Домножим числитель и знаменатель на неполный квадрат разности выражений $\sqrt[3]{6}$ и $\sqrt[3]{5}$, то есть на $(\sqrt[3]{6})^2 - \sqrt[3]{6}\sqrt[3]{5} + (\sqrt[3]{5})^2 = \sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{25}$.

$\frac{11}{\sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{5}} = \frac{11 \cdot (\sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{25})}{(\sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{5}) \cdot (\sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{25})}$

В знаменателе получим сумму кубов:

$(\sqrt[3]{6})^3 + (\sqrt[3]{5})^3 = 6 + 5 = 11$.

Подставим результат в нашу дробь:

$\frac{11(\sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{25})}{11} = \sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{25}$.

Ответ: $\sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{25}$.

3) В знаменателе дроби $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{3}}$ три слагаемых. Сгруппируем их, чтобы дважды применить формулу разности квадратов. Перепишем знаменатель как $(\sqrt{2} - \sqrt{3}) + \sqrt{5}$.

Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} - \sqrt{3}) - \sqrt{5}$.

$\frac{1}{(\sqrt{2} - \sqrt{3}) + \sqrt{5}} = \frac{1 \cdot ((\sqrt{2} - \sqrt{3}) - \sqrt{5})}{((\sqrt{2} - \sqrt{3}) + \sqrt{5})((\sqrt{2} - \sqrt{3}) - \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5}}{(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2}$.

Вычислим знаменатель:

$(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 = (2 - 2\sqrt{2}\sqrt{3} + 3) - 5 = (5 - 2\sqrt{6}) - 5 = -2\sqrt{6}$.

Дробь принимает вид: $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5}}{-2\sqrt{6}}$.

Теперь нужно избавиться от $\sqrt{6}$ в знаменателе. Для этого домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:

$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5}) \cdot \sqrt{6}}{-2\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{12} - \sqrt{18} - \sqrt{30}}{-2 \cdot 6} = \frac{\sqrt{12} - \sqrt{18} - \sqrt{30}}{-12}$.

Упростим корни в числителе: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ и $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$.

$\frac{2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} - \sqrt{30}}{-12}$.

Избавимся от знака минус в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $-1$:

$\frac{-(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} - \sqrt{30})}{12} = \frac{3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + \sqrt{30}}{12}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + \sqrt{30}}{12}$.

4) Знаменатель дроби $\frac{6}{\sqrt{10} - \sqrt{6} + \sqrt{5} - \sqrt{15}}$ в заданном виде не поддается простому разложению на множители, что делает решение стандартными методами крайне громоздким. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Наиболее вероятный исправленный вариант знаменателя, который позволяет решить задачу, — это $\sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{5} - \sqrt{15}$ (где $\sqrt{10}$ заменено на $\sqrt{2}$). Решим задачу для этого случая.

Знаменатель: $\sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{5} - \sqrt{15}$. Сгруппируем слагаемые:

$(\sqrt{2} - \sqrt{6}) + (\sqrt{5} - \sqrt{15}) = \sqrt{2}(1 - \sqrt{3}) + \sqrt{5}(1 - \sqrt{3}) = (\sqrt{2} + \sqrt{5})(1 - \sqrt{3})$.

Теперь дробь имеет вид: $\frac{6}{(\sqrt{2} + \sqrt{5})(1 - \sqrt{3})}$.

Чтобы избавиться от иррациональности, последовательно домножим числитель и знаменатель на сопряженные выражения к каждому из множителей в знаменателе. Сначала домножим на $(\sqrt{5} - \sqrt{2})$:

$\frac{6(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})(1 - \sqrt{3})} = \frac{6(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(5-2)(1 - \sqrt{3})} = \frac{6(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3(1 - \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{1 - \sqrt{3}}$.

Теперь домножим на сопряженное к $(1 - \sqrt{3})$, то есть на $(1 + \sqrt{3})$:

$\frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{2})(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{15} - \sqrt{2} - \sqrt{6})}{1^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{15} - \sqrt{2} - \sqrt{6})}{1 - 3} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{15} - \sqrt{2} - \sqrt{6})}{-2}$.

Сократим на $-2$:

$-(\sqrt{5} + \sqrt{15} - \sqrt{2} - \sqrt{6}) = \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{5} - \sqrt{15}$.

Ответ: (при предположении опечатке в условии, где в знаменателе $\sqrt{2}$ вместо $\sqrt{10}$) $\sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{5} - \sqrt{15}$.

11.6. Выполните действия:

1) $\sqrt[3]{12 - \sqrt{19}} \cdot \sqrt[3]{12 + \sqrt{19}};$

2) $\sqrt[5]{7 + \sqrt{17}} \cdot \sqrt[5]{7 - \sqrt{17}};$

3) $(2\sqrt{27} - \frac{1}{2}\sqrt{6} + 4\sqrt{3}) : \frac{1}{2}\sqrt{3};$

4) $(5\sqrt{8} - \frac{1}{3}\sqrt{10} - 2\sqrt{18}) : \frac{1}{3}\sqrt{2}.$

1) $\sqrt[3]{12 - \sqrt{19}} \cdot \sqrt[3]{12 + \sqrt{19}}$

Воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$:

$\sqrt[3]{(12 - \sqrt{19})(12 + \sqrt{19})}$

В выражении под корнем применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=12$ и $b=\sqrt{19}$:

$\sqrt[3]{12^2 - (\sqrt{19})^2} = \sqrt[3]{144 - 19} = \sqrt[3]{125}$

Так как $5^3 = 125$, то кубический корень из 125 равен 5.

$\sqrt[3]{125} = 5$

Ответ: 5

2) $\sqrt[5]{7 + \sqrt{17}} \cdot \sqrt[5]{7 - \sqrt{17}}$

Используем свойство произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$:

$\sqrt[5]{(7 + \sqrt{17})(7 - \sqrt{17})}$

В выражении под корнем применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=7$ и $b=\sqrt{17}$:

$\sqrt[5]{7^2 - (\sqrt{17})^2} = \sqrt[5]{49 - 17} = \sqrt[5]{32}$

Так как $2^5 = 32$, то корень пятой степени из 32 равен 2.

$\sqrt[5]{32} = 2$

Ответ: 2

3) $(2\sqrt{27} - \frac{1}{2}\sqrt{6} + 4\sqrt{3}) : \frac{1}{2}\sqrt{3}$

Сначала упростим выражение в скобках. Для этого вынесем множитель из-под знака корня в слагаемом $2\sqrt{27}$:

$2\sqrt{27} = 2\sqrt{9 \cdot 3} = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

Подставим полученное значение в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:

$(6\sqrt{3} - \frac{1}{2}\sqrt{6} + 4\sqrt{3}) = (6\sqrt{3} + 4\sqrt{3}) - \frac{1}{2}\sqrt{6} = 10\sqrt{3} - \frac{1}{2}\sqrt{6}$

Теперь выполним деление. Разделим каждый член полученного выражения на $\frac{1}{2}\sqrt{3}$:

$\frac{10\sqrt{3}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} - \frac{\frac{1}{2}\sqrt{6}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} = (10\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}) - (\frac{1}{2}\sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}) = 20 - \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}$

Используя свойство частного корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$, получаем:

$20 - \sqrt{\frac{6}{3}} = 20 - \sqrt{2}$

Ответ: $20 - \sqrt{2}$

4) $(5\sqrt{8} - \frac{1}{3}\sqrt{10} - 2\sqrt{18}) : \frac{1}{3}\sqrt{2}$

Упростим выражение в скобках, вынеся множители из-под знаков корней:

$5\sqrt{8} = 5\sqrt{4 \cdot 2} = 5 \cdot 2\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$

$2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \cdot 2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

Подставим упрощенные значения в скобки и приведем подобные слагаемые:

$(10\sqrt{2} - \frac{1}{3}\sqrt{10} - 6\sqrt{2}) = (10\sqrt{2} - 6\sqrt{2}) - \frac{1}{3}\sqrt{10} = 4\sqrt{2} - \frac{1}{3}\sqrt{10}$

Теперь выполним деление, разделив каждый член на $\frac{1}{3}\sqrt{2}$:

$\frac{4\sqrt{2}}{\frac{1}{3}\sqrt{2}} - \frac{\frac{1}{3}\sqrt{10}}{\frac{1}{3}\sqrt{2}} = (4\sqrt{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{2}}) - (\frac{1}{3}\sqrt{10} \cdot \frac{3}{\sqrt{2}}) = 12 - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}$

Упростим последнее слагаемое:

$12 - \sqrt{\frac{10}{2}} = 12 - \sqrt{5}$

Ответ: $12 - \sqrt{5}$

11.7. Используя формулы сложных корней (радикалов) упростите выражение: $\sqrt{a + 2\sqrt{a - 1}} + \sqrt{a - 2\sqrt{a - 1}}$

Для упрощения выражения $\sqrt{a + 2\sqrt{a-1}} + \sqrt{a - 2\sqrt{a-1}}$ воспользуемся тем, что подкоренные выражения можно представить в виде полных квадратов, используя формулы $(x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение $\sqrt{a-1}$ определено при $a-1 \ge 0$, то есть при $a \ge 1$. Выражение $a - 2\sqrt{a-1}$ должно быть неотрицательным. Представим его как $(\sqrt{a-1})^2 - 2\sqrt{a-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a-1}-1)^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, это условие выполняется для всех $a \ge 1$. Выражение $a + 2\sqrt{a-1}$ при $a \ge 1$ очевидно положительно. Таким образом, ОДЗ всего выражения: $a \ge 1$.

Преобразуем первое подкоренное выражение, выделив полный квадрат:$a + 2\sqrt{a-1} = (a-1) + 1 + 2\sqrt{a-1} = (\sqrt{a-1})^2 + 2 \cdot \sqrt{a-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a-1} + 1)^2$.Тогда $\sqrt{a + 2\sqrt{a-1}} = \sqrt{(\sqrt{a-1} + 1)^2} = |\sqrt{a-1} + 1|$. Поскольку $\sqrt{a-1} \ge 0$ при $a \ge 1$, то и $\sqrt{a-1}+1 > 0$, следовательно, модуль можно опустить: $\sqrt{a-1} + 1$.

Аналогично преобразуем второе подкоренное выражение:$a - 2\sqrt{a-1} = (a-1) + 1 - 2\sqrt{a-1} = (\sqrt{a-1})^2 - 2 \cdot \sqrt{a-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a-1} - 1)^2$.Тогда $\sqrt{a - 2\sqrt{a-1}} = \sqrt{(\sqrt{a-1} - 1)^2} = |\sqrt{a-1} - 1|$.

Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде:$(\sqrt{a-1} + 1) + |\sqrt{a-1} - 1|$.Для раскрытия модуля необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения $\sqrt{a-1} - 1$.

Рассмотрим первый случай, когда $\sqrt{a-1} - 1 \ge 0$. Это неравенство выполняется при $\sqrt{a-1} \ge 1$. Возводя обе неотрицательные части в квадрат, получаем $a-1 \ge 1$, что равносильно $a \ge 2$. В этом случае $|\sqrt{a-1} - 1| = \sqrt{a-1} - 1$.Тогда все выражение равно:$(\sqrt{a-1} + 1) + (\sqrt{a-1} - 1) = \sqrt{a-1} + 1 + \sqrt{a-1} - 1 = 2\sqrt{a-1}$.

Рассмотрим второй случай, когда $\sqrt{a-1} - 1 < 0$. Это неравенство выполняется при $\sqrt{a-1} < 1$. Возводя обе части в квадрат, получаем $a-1 < 1$, что равносильно $a < 2$. С учетом ОДЗ ($a \ge 1$), этот случай описывается двойным неравенством $1 \le a < 2$. В этом случае $|\sqrt{a-1} - 1| = -(\sqrt{a-1} - 1) = 1 - \sqrt{a-1}$.Тогда все выражение равно:$(\sqrt{a-1} + 1) + (1 - \sqrt{a-1}) = \sqrt{a-1} + 1 + 1 - \sqrt{a-1} = 2$.

Ответ: $\begin{cases} 2\sqrt{a-1}, & \text{если } a \ge 2 \\ 2, & \text{если } 1 \le a < 2 \end{cases}$

11.8. Используя формулы сложных корней докажите, что значение выражения $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}} - \sqrt{x-2\sqrt{x-1}}$ при $x > 2$ не зависит от переменной $x$.

Для доказательства утверждения необходимо упростить данное выражение. Обозначим его через $E$:$E = \sqrt{x + 2\sqrt{x-1}} - \sqrt{x - 2\sqrt{x-1}}$

Условие $x > 2$ гарантирует, что все подкоренные выражения, включая $x-1$, положительны, поэтому выражение определено.

Для упрощения "сложных корней" (вложенных радикалов) вида $\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}}$ используется метод выделения полного квадрата под корнем. Мы ищем такие числа $a$ и $b$, чтобы подкоренное выражение можно было представить в виде $(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^2 = a+b \pm 2\sqrt{ab}$.

Рассмотрим первый член выражения: $\sqrt{x + 2\sqrt{x-1}}$.

Здесь нам нужно найти $a$ и $b$ такие, что $a+b = x$ и $ab = x-1$.

Подберем значения. Пусть $a = x-1$ и $b = 1$.

Проверяем: $a+b = (x-1) + 1 = x$ и $ab = (x-1) \cdot 1 = x-1$. Условия выполняются.

Следовательно, подкоренное выражение можно записать как полный квадрат:$x + 2\sqrt{x-1} = (x-1) + 2\sqrt{x-1} + 1 = (\sqrt{x-1})^2 + 2\cdot\sqrt{x-1}\cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x-1} + 1)^2$.

Таким образом, первый член равен:$\sqrt{x + 2\sqrt{x-1}} = \sqrt{(\sqrt{x-1} + 1)^2} = |\sqrt{x-1} + 1|$.

Поскольку $\sqrt{x-1}$ является неотрицательным числом, сумма $\sqrt{x-1} + 1$ всегда положительна. Значит, $|\sqrt{x-1} + 1| = \sqrt{x-1} + 1$.

Теперь рассмотрим второй член выражения: $\sqrt{x - 2\sqrt{x-1}}$.

Аналогично, используя $a = x-1$ и $b = 1$, получаем:

$x - 2\sqrt{x-1} = (x-1) - 2\sqrt{x-1} + 1 = (\sqrt{x-1})^2 - 2\cdot\sqrt{x-1}\cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x-1} - 1)^2$.

Таким образом, второй член равен:$\sqrt{x - 2\sqrt{x-1}} = \sqrt{(\sqrt{x-1} - 1)^2} = |\sqrt{x-1} - 1|$.

Чтобы раскрыть модуль, используем заданное условие $x > 2$.

Если $x > 2$, то $x-1 > 1$.

Извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства, получаем $\sqrt{x-1} > \sqrt{1}$, то есть $\sqrt{x-1} > 1$.

Отсюда следует, что разность $\sqrt{x-1} - 1$ является положительным числом, поэтому $|\sqrt{x-1} - 1| = \sqrt{x-1} - 1$.

Подставим упрощенные выражения обратно в исходное равенство:$E = (\sqrt{x-1} + 1) - (\sqrt{x-1} - 1) = \sqrt{x-1} + 1 - \sqrt{x-1} + 1 = 2$.

Значение выражения равно 2, что является константой и не зависит от значения переменной $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: Значение выражения равно 2, что доказывает его независимость от переменной $x$ при $x > 2$.

11.9. Докажите тождество:

1) $\sqrt{\sqrt{a} + \sqrt{\frac{a^2-4}{a}}} + \sqrt{\sqrt{a} - \sqrt{\frac{a^2-4}{a}}} = \frac{\sqrt{2a+4}}{\sqrt[4]{a}}$, если $a > 2$;

2) $\left(\sqrt[3]{(x^2+1)\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} + \sqrt[3]{(x^2-1)\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}\right)^2 = \frac{\sqrt[3]{x^{-2}(x^2+\sqrt{x^4-1})}}{2^{-1}}$,

если $x > 1$.

1) Для доказательства данного тождества преобразуем его левую и правую части. Обозначим левую часть как $L$, а правую как $R$. В условии задано $a > 2$, что обеспечивает существование и положительность всех подкоренных выражений.

Предположим, в условии задачи имеется опечатка, и тождество должно выглядеть следующим образом:

$ \sqrt{\sqrt{a} + \frac{\sqrt{a^2-4}}{\sqrt{a}}} + \sqrt{\sqrt{a} - \frac{\sqrt{a^2-4}}{\sqrt{a}}} = \frac{\sqrt{2a+4}}{\sqrt[4]{a}} $

Докажем это исправленное тождество. Поскольку обе части тождества положительны, мы можем возвести их в квадрат и доказать равенство квадратов.

Возведем в квадрат левую часть $L$:$ L^2 = \left( \sqrt{\sqrt{a} + \frac{\sqrt{a^2-4}}{\sqrt{a}}} + \sqrt{\sqrt{a} - \frac{\sqrt{a^2-4}}{\sqrt{a}}} \right)^2 $

Используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$, получаем:$ L^2 = \left(\sqrt{a} + \frac{\sqrt{a^2-4}}{\sqrt{a}}\right) + \left(\sqrt{a} - \frac{\sqrt{a^2-4}}{\sqrt{a}}\right) + 2\sqrt{\left(\sqrt{a} + \frac{\sqrt{a^2-4}}{\sqrt{a}}\right)\left(\sqrt{a} - \frac{\sqrt{a^2-4}}{\sqrt{a}}\right)} $

Упрощаем выражение:$ L^2 = 2\sqrt{a} + 2\sqrt{(\sqrt{a})^2 - \left(\frac{\sqrt{a^2-4}}{\sqrt{a}}\right)^2} $$ L^2 = 2\sqrt{a} + 2\sqrt{a - \frac{a^2-4}{a}} $$ L^2 = 2\sqrt{a} + 2\sqrt{\frac{a^2 - (a^2-4)}{a}} $$ L^2 = 2\sqrt{a} + 2\sqrt{\frac{4}{a}} = 2\sqrt{a} + \frac{4}{\sqrt{a}} $

Приведем к общему знаменателю:$ L^2 = \frac{2\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} + 4}{\sqrt{a}} = \frac{2a+4}{\sqrt{a}} $

Теперь возведем в квадрат правую часть $R$:$ R^2 = \left( \frac{\sqrt{2a+4}}{\sqrt[4]{a}} \right)^2 = \frac{(\sqrt{2a+4})^2}{(\sqrt[4]{a})^2} = \frac{2a+4}{\sqrt{a}} $

Мы получили, что $L^2 = R^2$. Так как $L > 0$ и $R > 0$, из равенства их квадратов следует, что $L = R$.

Ответ: Тождество доказано (при исправлении опечатки в условии).

2) Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части (LHS и RHS). Заметим, что в правой части, скорее всего, опечатка и вместо корня четвертой степени $\sqrt[4]{x^4-1}$ должен быть корень второй степени $\sqrt{x^4-1}$. С этим исправлением приступим к доказательству.

Преобразование левой части (LHS):

$ LHS = \left( \sqrt[3]{(x^2+1)\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} + \sqrt[3]{(x^2-1)\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} \right)^2 $

Упростим выражения под кубическими корнями. Так как $x > 1$, то $\sqrt{x^2} = x$.

Первый член:$ (x^2+1)\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} = (x^2+1)\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}} = (x^2+1)\frac{\sqrt{x^2+1}}{x} = \frac{(x^2+1)^{3/2}}{x} $

Второй член:$ (x^2-1)\sqrt{1-\frac{1}{x^2}} = (x^2-1)\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}} = (x^2-1)\frac{\sqrt{x^2-1}}{x} = \frac{(x^2-1)^{3/2}}{x} $

Подставим упрощенные выражения обратно в LHS:$ LHS = \left( \sqrt[3]{\frac{(x^2+1)^{3/2}}{x}} + \sqrt[3]{\frac{(x^2-1)^{3/2}}{x}} \right)^2 $

Извлекаем кубические корни:$ LHS = \left( \frac{(x^2+1)^{1/2}}{x^{1/3}} + \frac{(x^2-1)^{1/2}}{x^{1/3}} \right)^2 = \left( \frac{\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2-1}}{\sqrt[3]{x}} \right)^2 $

Возводим в квадрат:$ LHS = \frac{(\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2-1})^2}{(\sqrt[3]{x})^2} $

Раскроем квадрат в числителе:$ (\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2-1})^2 = (x^2+1) + (x^2-1) + 2\sqrt{(x^2+1)(x^2-1)} = 2x^2 + 2\sqrt{x^4-1} = 2(x^2 + \sqrt{x^4-1}) $

Знаменатель равен $x^{2/3} = \sqrt[3]{x^2}$.$ LHS = \frac{2(x^2 + \sqrt{x^4-1})}{\sqrt[3]{x^2}} $

Преобразование правой части (RHS):

$ RHS = \frac{\sqrt[3]{x^{-2}}(x^2+\sqrt{x^4-1})}{2^{-1}} $

Упростим выражение:$ RHS = \frac{x^{-2/3}(x^2+\sqrt{x^4-1})}{1/2} = 2 \cdot x^{-2/3}(x^2+\sqrt{x^4-1}) $

$ RHS = \frac{2(x^2+\sqrt{x^4-1})}{x^{2/3}} = \frac{2(x^2+\sqrt{x^4-1})}{\sqrt[3]{x^2}} $

Сравнивая преобразованные левую и правую части, видим, что $LHS = RHS$.

Ответ: Тождество доказано (при исправлении опечатки в условии).

11.10. Докажите, что при всех действительных значениях переменных значение выражения $\left(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}} - \left(\frac{x+\sqrt[4]{xy^3}}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}} - \sqrt[4]{xy}\right)\right) \cdot \frac{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$ неотрицательно и не зависит

от x.

Для доказательства утверждения необходимо упростить данное выражение. Определим область допустимых значений (ОДЗ): подкоренные выражения должны быть неотрицательны, а знаменатели не должны равняться нулю. Отсюда получаем: $x \ge 0$, $y \ge 0$, $\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y} \neq 0 \implies x \neq y$, $\sqrt{x} + \sqrt[4]{xy} \neq 0 \implies x>0$. Таким образом, ОДЗ: $x > 0, y \ge 0, x \neq y$.

Упростим выражение по частям.

1. Преобразуем первую дробь, разложив числитель как разность квадратов, где $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2$ и $\sqrt{y} = (\sqrt[4]{y})^2$:

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}} = \frac{(\sqrt[4]{x})^2 - (\sqrt[4]{y})^2}{\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}} = \frac{(\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y})}{\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}} = \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}$

2. Упростим выражение в больших скобках: $\left( \frac{x + \sqrt[4]{xy^3}}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{xy}} - \sqrt[4]{xy} \right)$.

Сначала преобразуем дробь внутри скобок. Вынесем общий множитель в числителе и знаменателе:

$\frac{x + \sqrt[4]{xy^3}}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{xy}} = \frac{\sqrt[4]{x}((\sqrt[4]{x})^3 + (\sqrt[4]{y})^3)}{\sqrt[4]{x}(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y})} = \frac{(\sqrt[4]{x})^3 + (\sqrt[4]{y})^3}{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}}$

Используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$, получаем:

$\frac{(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y})((\sqrt[4]{x})^2 - \sqrt[4]{x}\sqrt[4]{y} + (\sqrt[4]{y})^2)}{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}} = \sqrt{x} - \sqrt[4]{xy} + \sqrt{y}$

Теперь подставим это обратно в выражение в скобках:

$(\sqrt{x} - \sqrt[4]{xy} + \sqrt{y}) - \sqrt[4]{xy} = \sqrt{x} - 2\sqrt[4]{xy} + \sqrt{y}$

Полученное выражение является полным квадратом разности: $(\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y})^2$.

3. Преобразуем последний множитель $\frac{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$:

$\frac{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}}{(\sqrt[4]{x})^2 - (\sqrt[4]{y})^2} = \frac{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}}{(\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y})} = \frac{1}{\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}}$

4. Теперь соберем все части вместе:

$(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}) - (\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y})^2 \cdot \frac{1}{\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}}$

Поскольку $x \neq y$, то $\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y} \neq 0$, и мы можем сократить выражение:

$(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}) - (\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}) = \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y} - \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y} = 2\sqrt[4]{y}$

Итоговое выражение равно $2\sqrt[4]{y}$.

Проанализируем результат:

1. Выражение $2\sqrt[4]{y}$ не содержит переменную $x$, следовательно, его значение не зависит от $x$.

2. Из ОДЗ известно, что $y \ge 0$. Арифметический корень четвертой степени из неотрицательного числа $\sqrt[4]{y}$ всегда неотрицателен. Значит, $2\sqrt[4]{y} \ge 0$.

Таким образом, доказано, что значение выражения неотрицательно и не зависит от $x$.

Ответ: В результате упрощения исходное выражение равно $2\sqrt[4]{y}$. Это значение не зависит от переменной $x$ и является неотрицательным ($2\sqrt[4]{y} \ge 0$) при всех допустимых значениях переменных, что и требовалось доказать.

11.11. Упростите:

1) $\left(\frac{2\sqrt{x}}{x^2}\right)^{-3} - \left(\left(x\sqrt{x}\right)^{-1}\right)^{\frac{1}{2}} + \sqrt{\sqrt{x^3}};$

2) $\left(\left(\sqrt[3]{x}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{6}{5}} - \left(\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)^{-\frac{4}{3}};$

3) $\left(\frac{x^2}{\sqrt[4]{x^3}}\right)^{\frac{4}{5}} - \left(\sqrt[3]{x^2\sqrt{x^3}}\right)^{\frac{6}{7}};$

4) $\sqrt{1 + \left(\frac{x^2 - 1}{2x}\right)^2} : \left((x^2 + 1) \cdot \frac{1}{x}\right).$

1) Исходное выражение: $(\frac{2\sqrt{x}}{x^2})^{-3} - ((x\sqrt{x})^{-1})^{\frac{1}{2}} + \sqrt{\sqrt{x^3}}$.

Для упрощения представим все корни и степени в виде степенных выражений с рациональными показателями. Используем свойства степеней: $(a^m)^n = a^{mn}$, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

Упростим каждое слагаемое по отдельности:

Первое слагаемое: $(\frac{2\sqrt{x}}{x^2})^{-3} = (\frac{2x^{\frac{1}{2}}}{x^2})^{-3} = (2x^{\frac{1}{2}-2})^{-3} = (2x^{-\frac{3}{2}})^{-3} = 2^{-3}(x^{-\frac{3}{2}})^{-3} = \frac{1}{8}x^{(-\frac{3}{2}) \cdot (-3)} = \frac{1}{8}x^{\frac{9}{2}}$.

Второе слагаемое: $-((x\sqrt{x})^{-1})^{\frac{1}{2}} = -((x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}})^{-1})^{\frac{1}{2}} = -((x^{\frac{3}{2}})^{-1})^{\frac{1}{2}} = -(x^{-\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} = -x^{-\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = -x^{-\frac{3}{4}}$.

Третье слагаемое: $\sqrt{\sqrt{x^3}} = \sqrt{(x^3)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt{x^{\frac{3}{2}}} = (x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{4}}$.

Теперь сложим все упрощенные слагаемые: $\frac{1}{8}x^{\frac{9}{2}} - x^{-\frac{3}{4}} + x^{\frac{3}{4}}$.

Ответ: $\frac{1}{8}x^{\frac{9}{2}} - x^{-\frac{3}{4}} + x^{\frac{3}{4}}$.

2) Исходное выражение: $(\frac{(\sqrt[3]{x})^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{5}}})^{\frac{6}{5}} - ((\frac{1}{\sqrt[4]{x}})^{-\frac{4}{3}})^{\frac{3}{5}}$.

Упростим каждое слагаемое по отдельности, используя свойства степеней.

Первое слагаемое: $(\frac{(\sqrt[3]{x})^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{5}}})^{\frac{6}{5}} = (\frac{(x^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{5}}})^{\frac{6}{5}} = (\frac{x^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{1}{5}}})^{\frac{6}{5}} = (x^{\frac{1}{6}-\frac{1}{5}})^{\frac{6}{5}} = (x^{\frac{5-6}{30}})^{\frac{6}{5}} = (x^{-\frac{1}{30}})^{\frac{6}{5}} = x^{-\frac{1}{30} \cdot \frac{6}{5}} = x^{-\frac{6}{150}} = x^{-\frac{1}{25}}$.

Второе слагаемое: $-((\frac{1}{\sqrt[4]{x}})^{-\frac{4}{3}})^{\frac{3}{5}} = -((x^{-\frac{1}{4}})^{-\frac{4}{3}})^{\frac{3}{5}} = -(x^{(-\frac{1}{4}) \cdot (-\frac{4}{3})})^{\frac{3}{5}} = -(x^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{5}} = -x^{\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5}} = -x^{\frac{1}{5}}$.

Объединим полученные выражения: $x^{-\frac{1}{25}} - x^{\frac{1}{5}}$.

Ответ: $x^{-\frac{1}{25}} - x^{\frac{1}{5}}$.

3) Исходное выражение: $(\frac{x^2}{\sqrt[3]{x^2}})^{\frac{4}{5}} - (\sqrt[7]{\sqrt[3]{x^2}\sqrt{x^3}})^6$.

Упростим каждый член выражения отдельно.

Первый член: $(\frac{x^2}{\sqrt[3]{x^2}})^{\frac{4}{5}} = (\frac{x^2}{x^{\frac{2}{3}}})^{\frac{4}{5}} = (x^{2 - \frac{2}{3}})^{\frac{4}{5}} = (x^{\frac{4}{3}})^{\frac{4}{5}} = x^{\frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5}} = x^{\frac{16}{15}}$.

Второй член: $-(\sqrt[7]{\sqrt[3]{x^2}\sqrt{x^3}})^6$. Сначала упростим подкоренное выражение: $\sqrt[3]{x^2}\sqrt{x^3} = x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{3}{2}} = x^{\frac{2}{3} + \frac{3}{2}} = x^{\frac{4+9}{6}} = x^{\frac{13}{6}}$.

Теперь применим корень и степень: $-(\sqrt[7]{x^{\frac{13}{6}}})^6 = -((x^{\frac{13}{6}})^{\frac{1}{7}})^6 = -(x^{\frac{13}{42}})^6 = -x^{\frac{13 \cdot 6}{42}} = -x^{\frac{13}{7}}$.

Объединим результаты: $x^{\frac{16}{15}} - x^{\frac{13}{7}}$.

Ответ: $x^{\frac{16}{15}} - x^{\frac{13}{7}}$.

4) Исходное выражение: $\sqrt{1+(\frac{x^2-1}{2x})^2} : ((x^2+1) \cdot \frac{1}{x})$.

Это выражение определено при $x \neq 0$.

Рассмотрим первую часть выражения (делимое): $\sqrt{1+(\frac{x^2-1}{2x})^2}$.

Упростим выражение под корнем: $1+(\frac{x^2-1}{2x})^2 = 1 + \frac{(x^2-1)^2}{(2x)^2} = 1 + \frac{x^4-2x^2+1}{4x^2} = \frac{4x^2}{4x^2} + \frac{x^4-2x^2+1}{4x^2} = \frac{4x^2+x^4-2x^2+1}{4x^2} = \frac{x^4+2x^2+1}{4x^2}$.

Числитель и знаменатель являются полными квадратами: $x^4+2x^2+1 = (x^2+1)^2$ и $4x^2 = (2x)^2$.

Таким образом, выражение под корнем равно $(\frac{x^2+1}{2x})^2$.

Извлекаем квадратный корень: $\sqrt{(\frac{x^2+1}{2x})^2} = |\frac{x^2+1}{2x}|$.

Поскольку $x^2+1$ всегда положительно для любого действительного $x$, то $|\frac{x^2+1}{2x}| = \frac{x^2+1}{|2x|}$.

Рассмотрим вторую часть выражения (делитель): $(x^2+1) \cdot \frac{1}{x} = \frac{x^2+1}{x}$.

Теперь выполним деление: $\frac{x^2+1}{|2x|} : \frac{x^2+1}{x} = \frac{x^2+1}{|2x|} \cdot \frac{x}{x^2+1}$.

Сокращаем на $x^2+1$ (этот член никогда не равен нулю): $\frac{x}{|2x|}$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $x > 0$, то $|2x| = 2x$. Выражение равно $\frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$.

2. Если $x < 0$, то $|2x| = -2x$. Выражение равно $\frac{x}{-2x} = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$ при $x>0$ и $-\frac{1}{2}$ при $x<0$.