Страница 93 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. В каких случаях удобно использовать каждый из указанных выше способов преобразования иррациональных выражений?

2. Есть ли отличия в преобразованиях рациональных и иррациональных выражений?

3. Какие известные знания были применены при доказательстве формулы (1)?

1. В каких случаях удобно использовать каждый из указанных выше способов преобразования иррациональных выражений?

Поскольку в вопросе не уточняются конкретные способы, рассмотрим наиболее распространенные из них:

• Вынесение множителя из-под знака корня. Этот способ удобен, когда подкоренное выражение можно разложить на множители, среди которых есть точные квадраты (или кубы для кубических корней и т.д.). Это позволяет упростить вид выражения. Например, при преобразовании $\sqrt{48}$ можно заметить, что $48 = 16 \cdot 3$, где 16 — это $4^2$. Тогда $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.
• Внесение множителя под знак корня. Этот метод, обратный предыдущему, особенно полезен при сравнении величин иррациональных чисел. Чтобы сравнить $5\sqrt{3}$ и $4\sqrt{5}$, внесем множители под корень: $5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}$, а $4\sqrt{5} = \sqrt{4^2 \cdot 5} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80}$. Так как $80 > 75$, то и $4\sqrt{5} > 5\sqrt{3}$.
• Избавление от иррациональности в знаменателе. Этот прием является стандартным для упрощения дробей, содержащих корни в знаменателе. Он делает выражение более удобным для дальнейших вычислений.
  • Если знаменатель — одиночный корень, например $\frac{7}{\sqrt{2}}$, дробь умножается на этот корень: $\frac{7 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{2}$.
  • Если знаменатель — сумма или разность с корнем, например $\frac{1}{5-\sqrt{3}}$, дробь умножается на сопряженное выражение ($5+\sqrt{3}$), чтобы использовать формулу разности квадратов: $\frac{1 \cdot (5+\sqrt{3})}{(5-\sqrt{3})(5+\sqrt{3})} = \frac{5+\sqrt{3}}{5^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{5+\sqrt{3}}{25-3} = \frac{5+\sqrt{3}}{22}$.
• Приведение подобных слагаемых. Этот способ используется при сложении и вычитании выражений, которые содержат одинаковые иррациональные части (слагаемые с одинаковыми корнями). Например, в выражении $8\sqrt{6} + 2\sqrt{6} - 3\sqrt{6}$ все слагаемые являются подобными, и их можно сложить: $(8+2-3)\sqrt{6} = 7\sqrt{6}$.

Ответ: Вынесение множителя из-под корня удобно для упрощения отдельных радикалов. Внесение множителя под корень — для сравнения иррациональных чисел. Избавление от иррациональности в знаменателе — для упрощения дробей и приведения их к стандартному виду. Приведение подобных слагаемых — для упрощения сумм и разностей, содержащих одинаковые корни.

2. Есть ли отличия в преобразованиях рациональных и иррациональных выражений?

Да, между преобразованиями рациональных и иррациональных выражений существуют принципиальные отличия.

Основное отличие заключается в том, что при работе с иррациональными выражениями, содержащими корни четной степени (квадратные, четвертой степени и т.д.), необходимо строго следить за областью допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем четной степени не может быть отрицательным. Например, выражение $\sqrt{a-2}$ имеет смысл только при $a \ge 2$. Для рациональных выражений (дробей) главное ограничение — неравенство знаменателя нулю.

Второе отличие — это наличие специфических тождественных преобразований, присущих только иррациональным выражениям. К ним относятся уже описанные выше операции: вынесение множителя из-под знака корня и внесение под него, а также избавление от иррациональности в знаменателе или числителе дроби. Эти преобразования базируются на свойствах степеней и корней, таких как $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и $(\sqrt[n]{a})^n = a$. Таких операций нет при работе с рациональными выражениями.

Хотя общие алгебраические законы (распределительный, переместительный, сочетательный) и формулы сокращенного умножения применяются в обоих случаях, их приложение к иррациональным выражениям имеет свою специфику. Например, формула разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ является ключевым инструментом для избавления от иррациональности, что является уникальной задачей для иррациональных выражений.

Ответ: Да, отличия есть. Главные из них — это необходимость учета ОДЗ для подкоренных выражений в иррациональных выражениях и наличие специальных методов преобразования (работа с корнями, избавление от иррациональности), которые не применяются к рациональным выражениям.

3. Какие известные знания были применены при доказательстве формулы (1)?

Так как сама формула (1) в вопросе не приведена, можно предположить, что речь идет об одной из ключевых формул темы, например, о тождестве, которое используется для избавления от иррациональности в знаменателе дроби вида $\frac{C}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}}$. Это тождество основано на формуле разности квадратов: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = a-b$.

Для доказательства этого тождества (при условии $a \ge 0, b \ge 0$) были использованы следующие базовые знания из курса алгебры:

1. Определение арифметического квадратного корня. По определению, $(\sqrt{x})^2 = x$ для любого $x \ge 0$. Это свойство применяется при умножении $\sqrt{a}$ на $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$ на $\sqrt{b}$.
2. Распределительный закон умножения (правило умножения многочленов или раскрытия скобок). Применяя его к левой части, получаем: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = \sqrt{a}\cdot\sqrt{a} - \sqrt{a}\cdot\sqrt{b} + \sqrt{b}\cdot\sqrt{a} - \sqrt{b}\cdot\sqrt{b}$.
3. Переместительный (коммутативный) закон умножения. Он гласит, что $x \cdot y = y \cdot x$. Благодаря ему мы знаем, что $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{b}\cdot\sqrt{a}$.
4. Приведение подобных слагаемых. Слагаемые $-\sqrt{a}\sqrt{b}$ и $+\sqrt{b}\sqrt{a}$ являются противоположными, и их сумма равна нулю.

Собирая все вместе: $(\sqrt{a})^2 - \sqrt{a}\sqrt{b} + \sqrt{a}\sqrt{b} - (\sqrt{b})^2 = a + 0 - b = a-b$.

Таким образом, доказательство опирается на самые фундаментальные свойства арифметических операций и определение квадратного корня.

Ответ: При доказательстве формулы $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = a-b$ были применены: определение арифметического квадратного корня, распределительный и переместительный законы умножения, а также правило приведения подобных слагаемых.

Выполните действия (11.1–11.2):

11.1.1) $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$;

2) $\frac{11+\sqrt{21}}{11-\sqrt{21}} + \frac{11-\sqrt{21}}{11+\sqrt{21}}$;

3) $\frac{1}{11-2\sqrt{30}} - \frac{1}{11+2\sqrt{30}}$;

4) $\frac{5}{3+2\sqrt{2}} + \frac{5}{3-2\sqrt{2}}$.

11.1. 1) Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению их знаменателей: $ (\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3}) $.

Используя формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $, вычисляем знаменатель:

$ (\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2 $.

Теперь преобразуем исходное выражение, приведя дроби к общему знаменателю:

$ \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 + (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{2} $.

Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы $ (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 $:

$ (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15} $.

$ (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15} $.

Сложим полученные выражения в числителе:

$ (8 - 2\sqrt{15}) + (8 + 2\sqrt{15}) = 16 $.

Подставим значение числителя в дробь:

$ \frac{16}{2} = 8 $.

Ответ: 8.

2) Приведем дроби к общему знаменателю $ (11 - \sqrt{21})(11 + \sqrt{21}) $.

По формуле разности квадратов: $ (11 - \sqrt{21})(11 + \sqrt{21}) = 11^2 - (\sqrt{21})^2 = 121 - 21 = 100 $.

Преобразуем выражение:

$ \frac{(11 + \sqrt{21})^2 + (11 - \sqrt{21})^2}{(11 - \sqrt{21})(11 + \sqrt{21})} = \frac{(11^2 + 2\cdot11\sqrt{21} + 21) + (11^2 - 2\cdot11\sqrt{21} + 21)}{100} $.

Упростим числитель:

$ \frac{(121 + 22\sqrt{21} + 21) + (121 - 22\sqrt{21} + 21)}{100} = \frac{142 + 22\sqrt{21} + 142 - 22\sqrt{21}}{100} = \frac{284}{100} $.

Сократим дробь:

$ \frac{284}{100} = \frac{71 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{71}{25} $.

Ответ: $ \frac{71}{25} $.

3) Приведем дроби к общему знаменателю $ (11 - 2\sqrt{30})(11 + 2\sqrt{30}) $.

По формуле разности квадратов:

$ (11 - 2\sqrt{30})(11 + 2\sqrt{30}) = 11^2 - (2\sqrt{30})^2 = 121 - (4 \cdot 30) = 121 - 120 = 1 $.

Преобразуем выражение:

$ \frac{1}{11 - 2\sqrt{30}} - \frac{1}{11 + 2\sqrt{30}} = \frac{(11 + 2\sqrt{30}) - (11 - 2\sqrt{30})}{1} $.

Раскроем скобки в числителе:

$ 11 + 2\sqrt{30} - 11 + 2\sqrt{30} = 4\sqrt{30} $.

Ответ: $ 4\sqrt{30} $.

4) Приведем дроби к общему знаменателю $ (3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) $.

По формуле разности квадратов:

$ (3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - (4 \cdot 2) = 9 - 8 = 1 $.

Преобразуем выражение, приведя дроби к общему знаменателю:

$ \frac{5(3 - 2\sqrt{2}) + 5(3 + 2\sqrt{2})}{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})} = \frac{5(3 - 2\sqrt{2} + 3 + 2\sqrt{2})}{1} $.

Упростим числитель:

$ 5(3+3) = 5 \cdot 6 = 30 $.

Ответ: 30.

11.2.1) $\sqrt{6+\sqrt{20}} \cdot \sqrt{6-\sqrt{20}};$

2) $\sqrt{4+\sqrt{15}} \cdot \sqrt{4-\sqrt{15}};$

3) $(\sqrt{14}-3\sqrt{2})^2 + 6\sqrt{28};$

4) $(3\sqrt{5}+\sqrt{15})^2 - 10\sqrt{27}.$

1) Для решения этого примера воспользуемся свойством корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$. Объединим выражения под одним корнем:

$\sqrt{6+\sqrt{20}} \cdot \sqrt{6-\sqrt{20}} = \sqrt{(6+\sqrt{20})(6-\sqrt{20})}$.

В выражении под корнем мы видим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$, где $a=6$ и $b=\sqrt{20}$.

Применим эту формулу:

$\sqrt{6^2 - (\sqrt{20})^2} = \sqrt{36 - 20} = \sqrt{16} = 4$.

Ответ: 4

2) Этот пример решается аналогично первому, используя свойство корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$ и формулу разности квадратов.

$\sqrt[4]{4+\sqrt{15}} \cdot \sqrt[4]{4-\sqrt{15}} = \sqrt[4]{(4+\sqrt{15})(4-\sqrt{15})}$.

Применим формулу разности квадратов, где $a=4$ и $b=\sqrt{15}$:

$\sqrt[4]{4^2 - (\sqrt{15})^2} = \sqrt[4]{16 - 15} = \sqrt[4]{1} = 1$.

Ответ: 1

3) Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=\sqrt{14}$ и $b=3\sqrt{2}$.

$(\sqrt{14}-3\sqrt{2})^2 + 6\sqrt{28} = ((\sqrt{14})^2 - 2 \cdot \sqrt{14} \cdot 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2) + 6\sqrt{28}$.

Вычислим каждый член в скобках:

$(\sqrt{14})^2 = 14$

$2 \cdot \sqrt{14} \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{14 \cdot 2} = 6\sqrt{28}$

$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$(14 - 6\sqrt{28} + 18) + 6\sqrt{28} = 32 - 6\sqrt{28} + 6\sqrt{28}$.

Взаимно уничтожаем $-6\sqrt{28}$ и $+6\sqrt{28}$:

$32 - 6\sqrt{28} + 6\sqrt{28} = 32$.

Ответ: 32

4) Раскроем скобки по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=3\sqrt{5}$ и $b=\sqrt{15}$.

$(3\sqrt{5}+\sqrt{15})^2 - 10\sqrt{27} = ((3\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{15} + (\sqrt{15})^2) - 10\sqrt{27}$.

Вычислим и упростим каждый член выражения:

$(3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$

$2 \cdot 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{15} = 6\sqrt{5 \cdot 15} = 6\sqrt{75}$

$(\sqrt{15})^2 = 15$

Подставим обратно:

$(45 + 6\sqrt{75} + 15) - 10\sqrt{27} = 60 + 6\sqrt{75} - 10\sqrt{27}$.

Теперь упростим корни $\sqrt{75}$ и $\sqrt{27}$:

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$

Подставим упрощенные корни в выражение:

$60 + 6(5\sqrt{3}) - 10(3\sqrt{3}) = 60 + 30\sqrt{3} - 30\sqrt{3}$.

Взаимно уничтожаем $30\sqrt{3}$ и $-30\sqrt{3}$:

$60 + 30\sqrt{3} - 30\sqrt{3} = 60$.

Ответ: 60

11.3. Используя формулы сложных корней упростите выражение:

1) $\sqrt{5+\sqrt{24}}$;

2) $\sqrt{6-\sqrt{20}}$;

3) $\sqrt{7-\sqrt{13}}$;

4) $\sqrt{8+\sqrt{28}}$;

5) $\sqrt{8-2\sqrt{15}}$;

6) $\sqrt{6+3\sqrt{3}}$;

7) $\sqrt{10-2\sqrt{21}}$;

8) $\sqrt{11-2\sqrt{10}}$.

1) Чтобы упростить выражение $\sqrt{5 + \sqrt{24}}$, приведем его к виду $\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}$, который равен $\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} = \sqrt{a}+\sqrt{b}$. Сначала преобразуем внутренний корень: $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$. Выражение принимает вид $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$. Теперь необходимо найти два числа, сумма которых равна 5, а произведение — 6. Это числа 3 и 2. Таким образом, $5 + 2\sqrt{6} = 3 + 2 + 2\sqrt{3 \cdot 2} = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$. Следовательно, $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$. Ответ: $\sqrt{3} + \sqrt{2}$.

2) Для выражения $\sqrt{6 - \sqrt{20}}$ сначала преобразуем внутренний корень: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$. Получаем $\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}$. Ищем два числа, сумма которых равна 6, а произведение — 5. Это числа 5 и 1. Значит, $6 - 2\sqrt{5} = 5 + 1 - 2\sqrt{5 \cdot 1} = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{1})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{1} = (\sqrt{5} - 1)^2$. Таким образом, $\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = \sqrt{5} - 1$ (поскольку $\sqrt{5} > 1$). Ответ: $\sqrt{5} - 1$.

3) В выражении $\sqrt{7 - \sqrt{13}}$ перед внутренним радикалом нет множителя 2, поэтому воспользуемся общей формулой сложного радикала: $\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}}$. Здесь $A=7$ и $B=13$. Вычисляем $A^2 - B = 7^2 - 13 = 49 - 13 = 36$. Подставляем в формулу: $\sqrt{\frac{7 + \sqrt{36}}{2}} - \sqrt{\frac{7 - \sqrt{36}}{2}} = \sqrt{\frac{7 + 6}{2}} - \sqrt{\frac{7 - 6}{2}} = \sqrt{\frac{13}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{13}-1}{\sqrt{2}}$. Избавившись от иррациональности в знаменателе, получаем $\frac{(\sqrt{13}-1)\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{26}-\sqrt{2}}{2}$. Ответ: $\frac{\sqrt{26}-\sqrt{2}}{2}$.

4) В выражении $\sqrt{8 + \sqrt{28}}$ преобразуем $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$. Получаем $\sqrt{8 + 2\sqrt{7}}$. Ищем два числа, сумма которых равна 8, а произведение 7. Это числа 7 и 1. Значит, $8 + 2\sqrt{7} = 7 + 1 + 2\sqrt{7 \cdot 1} = (\sqrt{7} + \sqrt{1})^2 = (\sqrt{7} + 1)^2$. Таким образом, $\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7} + 1)^2} = \sqrt{7} + 1$. Ответ: $\sqrt{7} + 1$.

5) Выражение $\sqrt{8 - 2\sqrt{15}}$ уже имеет вид, удобный для выделения полного квадрата. Ищем два числа, сумма которых равна 8, а произведение 15. Это числа 5 и 3. Значит, $8 - 2\sqrt{15} = 5 + 3 - 2\sqrt{5 \cdot 3} = (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2$. Таким образом, $\sqrt{8 - 2\sqrt{15}} = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{5} - \sqrt{3}$ (поскольку $\sqrt{5} > \sqrt{3}$). Ответ: $\sqrt{5} - \sqrt{3}$.

6) В выражении $\sqrt{6 + 3\sqrt{3}}$ внесем множитель 3 под внутренний корень: $3\sqrt{3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}$. Получаем $\sqrt{6 + \sqrt{27}}$. Теперь используем общую формулу с $A=6$ и $B=27$. Вычисляем $A^2 - B = 6^2 - 27 = 36 - 27 = 9$. Подставляем в формулу: $\sqrt{\frac{6 + \sqrt{9}}{2}} + \sqrt{\frac{6 - \sqrt{9}}{2}} = \sqrt{\frac{6 + 3}{2}} + \sqrt{\frac{6 - 3}{2}} = \sqrt{\frac{9}{2}} + \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$. Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем $\frac{(3+\sqrt{3})\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$. Ответ: $\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$.

7) В выражении $\sqrt{10 - 2\sqrt{21}}$ ищем два числа, сумма которых равна 10, а произведение 21. Это числа 7 и 3. Значит, $10 - 2\sqrt{21} = 7 + 3 - 2\sqrt{7 \cdot 3} = (\sqrt{7} - \sqrt{3})^2$. Таким образом, $\sqrt{10 - 2\sqrt{21}} = \sqrt{(\sqrt{7} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{7} - \sqrt{3}$ (поскольку $\sqrt{7} > \sqrt{3}$). Ответ: $\sqrt{7} - \sqrt{3}$.

8) В выражении $\sqrt{11 - 2\sqrt{10}}$ ищем два числа, сумма которых равна 11, а произведение 10. Это числа 10 и 1. Значит, $11 - 2\sqrt{10} = 10 + 1 - 2\sqrt{10 \cdot 1} = (\sqrt{10} - \sqrt{1})^2 = (\sqrt{10} - 1)^2$. Таким образом, $\sqrt{11 - 2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{10} - 1)^2} = \sqrt{10} - 1$ (поскольку $\sqrt{10} > 1$). Ответ: $\sqrt{10} - 1$.

11.4. Упростите выражение: $(\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}-3} - \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}+3}) : \frac{2m}{m - 6\sqrt{m} + 9}$

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку. Сначала преобразуем выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю.

1. Вычитание в скобках:

Общим знаменателем для дробей $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}-3}$ и $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}+3}$ является произведение их знаменателей $(\sqrt{m}-3)(\sqrt{m}+3)$, которое по формуле разности квадратов равно $(\sqrt{m})^2 - 3^2 = m-9$.

$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}-3} - \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}+3} = \frac{\sqrt{m}(\sqrt{m}+3) - \sqrt{m}(\sqrt{m}-3)}{(\sqrt{m}-3)(\sqrt{m}+3)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$\frac{m+3\sqrt{m} - (m-3\sqrt{m})}{m-9} = \frac{m+3\sqrt{m} - m + 3\sqrt{m}}{m-9} = \frac{6\sqrt{m}}{m-9}$

2. Упрощение делителя:

Рассмотрим знаменатель второго выражения: $m - 6\sqrt{m} + 9$. Это выражение является полным квадратом разности.

$m - 6\sqrt{m} + 9 = (\sqrt{m})^2 - 2 \cdot \sqrt{m} \cdot 3 + 3^2 = (\sqrt{m}-3)^2$

Таким образом, всё исходное выражение можно записать как:

$\frac{6\sqrt{m}}{m-9} : \frac{2m}{(\sqrt{m}-3)^2}$

3. Выполнение деления:

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь. Также заменим $m-9$ на $(\sqrt{m}-3)(\sqrt{m}+3)$:

$\frac{6\sqrt{m}}{(\sqrt{m}-3)(\sqrt{m}+3)} \cdot \frac{(\sqrt{m}-3)^2}{2m}$

Теперь можно сократить общие множители. Сокращаем $(\sqrt{m}-3)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{6\sqrt{m} \cdot (\sqrt{m}-3)}{2m(\sqrt{m}+3)}$

Далее сократим числовые коэффициенты и переменные. Учитывая, что $m = (\sqrt{m})^2$, получаем:

$\frac{6\sqrt{m}}{2m} = \frac{3 \cdot 2\sqrt{m}}{2(\sqrt{m})^2} = \frac{3}{\sqrt{m}}$

После сокращения выражение принимает окончательный вид:

$\frac{3(\sqrt{m}-3)}{\sqrt{m}(\sqrt{m}+3)}$

Ответ: $\frac{3(\sqrt{m}-3)}{\sqrt{m}(\sqrt{m}+3)}$.