Страница 86 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Вычислите (10.10—10.11):

10.10. 1) $\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}}\right)^{-\sqrt{8}}$;

2) $\left(\sqrt[3]{6}\right)^{-\sqrt{3}}$;

3) $8^{\frac{2}{3}} - \left(\frac{1}{16}\right)^{-0.75} + \left(\frac{1}{9}\right)^{1.5}$;

4) $\left(64^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{8}\right)^0 \cdot \left(343^{\frac{1}{3}} - 81^{\frac{1}{2}}\right)$.

1) $\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}}\right)^{-\sqrt{8}}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. В нашем случае $a = \frac{1}{2}$, $m = \sqrt{2}$, $n = -\sqrt{8}$.

Перемножим показатели степени: $\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{8}) = -\sqrt{2 \cdot 8} = -\sqrt{16} = -4$.

Получаем выражение: $\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}$.

Используем свойство степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$\left(\frac{1}{2}\right)^{-4} = \left(\frac{2}{1}\right)^4 = 2^4 = 16$.

Ответ: 16

2) $\left((\sqrt[3]{6})^{\sqrt{3}}\right)^{-3\sqrt{3}}$

Представим кубический корень в виде степени: $\sqrt[3]{6} = 6^{\frac{1}{3}}$.

Выражение примет вид: $\left(\left(6^{\frac{1}{3}}\right)^{\sqrt{3}}\right)^{-3\sqrt{3}}$.

Используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ дважды, перемножив все показатели степени: $\frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot (-3\sqrt{3})$.

Вычислим показатель: $\frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot (-3\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (-3) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = -1 \cdot 3 = -3$.

Получаем выражение: $6^{-3}$.

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $6^{-3} = \frac{1}{6^3} = \frac{1}{216}$.

Ответ: $\frac{1}{216}$

3) $8^{\frac{2}{3}} - \left(\frac{1}{16}\right)^{-0.75} + \left(\frac{1}{9}\right)^{-1.5}$

Вычислим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: $8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2 = 4$.

Второе слагаемое: $\left(\frac{1}{16}\right)^{-0.75}$. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0.75 = \frac{3}{4}$. Тогда $\left(\frac{1}{16}\right)^{-\frac{3}{4}} = 16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8$.

Третье слагаемое: $\left(\frac{1}{9}\right)^{-1.5}$. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $1.5 = \frac{3}{2}$. Тогда $\left(\frac{1}{9}\right)^{-\frac{3}{2}} = 9^{\frac{3}{2}} = (3^2)^{\frac{3}{2}} = 3^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 3^3 = 27$.

Подставим найденные значения в исходное выражение: $4 - 8 + 27 = -4 + 27 = 23$.

Ответ: 23

4) $\left(64^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{8}\right)^0 \cdot \left(343^{\frac{1}{3}} - 81^{\frac{1}{2}}\right)$

Выражение состоит из произведения двух множителей.

Первый множитель: $\left(64^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{8}\right)^0$. Любое число (кроме нуля), возведенное в степень 0, равно 1. Основание степени $64^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{8} = \sqrt{64} + \frac{3}{8} = 8 + \frac{3}{8} \ne 0$. Следовательно, $\left(64^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{8}\right)^0 = 1$.

Второй множитель: $\left(343^{\frac{1}{3}} - 81^{\frac{1}{2}}\right)$. Вычислим значения степеней: $343^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{343} = 7$, так как $7^3 = 343$. $81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9$.

Тогда второй множитель равен $7 - 9 = -2$.

Перемножим результаты: $1 \cdot (-2) = -2$.

Ответ: -2

10.11. 1) $-0.027^{\frac{1}{3}} + \left(\frac{1}{6}\right)^{-1} - 3^{-1} + (5.5)^0;$

2) $\left(\left(\frac{3}{4}\right)^0\right)^{-0.5} - 7.5 - \left(\sqrt[4]{4^3}\right)^2 - 2 \cdot (-2)^4;$

3) $(0.008)^{\frac{2}{3}} \cdot (0.64)^{0.5} : (0.04)^{-0.5} : (0.25)^{-1.5};$

4) $0.125^{\frac{1}{3}} - \left(-\frac{1}{6}\right)^{-2} + 256^{0.75} + (1.2)^0.$

1) Вычислим значение каждого члена выражения по очереди:

$-0,027^{\frac{1}{3}} = - (0,3^3)^{\frac{1}{3}} = -0,3$.

$(\frac{1}{6})^{-1} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6$.

$3^{-1} = \frac{1}{3}$.

$(5,5)^0 = 1$ (любое ненулевое число в степени 0 равно 1).

Теперь сложим все полученные значения:

$-0,3 + 6 - \frac{1}{3} + 1 = 7 - 0,3 - \frac{1}{3} = 6,7 - \frac{1}{3}$.

Переведем десятичную дробь в обыкновенную для удобства вычислений:

$6,7 = \frac{67}{10}$.

$\frac{67}{10} - \frac{1}{3} = \frac{67 \cdot 3}{30} - \frac{1 \cdot 10}{30} = \frac{201 - 10}{30} = \frac{191}{30} = 6\frac{11}{30}$.

Ответ: $6\frac{11}{30}$.

2) Вычислим значение каждого члена выражения по очереди:

$((\frac{3}{4})^{0})^{-0,5}$. Сначала вычислим внутреннюю скобку: $(\frac{3}{4})^0 = 1$. Тогда выражение становится $1^{-0,5} = 1$.

$(\sqrt[4]{4^3})^2$. Используя свойства степеней, преобразуем выражение: $(4^{\frac{3}{4}})^2 = 4^{\frac{3}{4} \cdot 2} = 4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 2^3 = 8$.

$2 \cdot (-2)^4$. Сначала возведем в степень: $(-2)^4 = 16$. Тогда $2 \cdot 16 = 32$.

Теперь подставим все значения в исходное выражение:

$1 - 7,5 - 8 - 32 = 1 - 7,5 - 40 = 1 - 47,5 = -46,5$.

Ответ: $-46,5$.

3) Вычислим значение каждого множителя и делителя. Удобнее работать с десятичными дробями, представляя их как степени.

$(0,008)^{\frac{2}{3}} = ((0,2)^3)^{\frac{2}{3}} = (0,2)^{3 \cdot \frac{2}{3}} = (0,2)^2 = 0,04$.

$(0,64)^{0,5} = (0,64)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{0,64} = 0,8$.

$(0,04)^{-0,5} = (0,04)^{-\frac{1}{2}} = (\frac{1}{0,04})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$.

$(0,25)^{-1,5} = (0,25)^{-\frac{3}{2}} = (\frac{1}{4})^{-\frac{3}{2}} = 4^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$.

Теперь выполним операции умножения и деления по порядку:

$0,04 \cdot 0,8 : 5 : 8 = 0,032 : 5 : 8 = 0,0064 : 8 = 0,0008$.

Ответ: $0,0008$.

4) Вычислим значение каждого члена выражения по очереди:

$0,125^{-\frac{1}{3}}$. Так как $0,125 = \frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$, то $(\frac{1}{8})^{-\frac{1}{3}} = ((\frac{1}{2})^3)^{-\frac{1}{3}} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$.

$(-\frac{1}{6})^{-2} = (-6)^2 = 36$.

$256^{0,75} = 256^{\frac{3}{4}}$. Так как $256 = 4^4$, то $(4^4)^{\frac{3}{4}} = 4^3 = 64$.

$(1,2)^0 = 1$.

Подставим все значения в исходное выражение:

$2 - 36 + 64 + 1 = -34 + 65 = 31$.

Ответ: $31$.

10.12. Упростите:

1) $\frac{a^{-\frac{1}{2}} \sqrt[3]{a}}{a^{-\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{7}{6}}}$;

2) $\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[3]{x}}{x^{-\frac{4}{3}}}$;

3) $\frac{a - 16a^{0.5}}{5a^{0.25} + 20}$;

4) $\frac{x^{\frac{4}{3}} y + x y^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}}$.

1) Для упрощения выражения $\frac{a^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{a}}{a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{7}{6}}}$ представим все члены в виде степеней с рациональным показателем. Корень $\sqrt[3]{a}$ равен $a^{\frac{1}{3}}$.Исходное выражение преобразуется к виду: $\frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{7}{6}}}$.Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.В числителе: $a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = a^{\frac{3}{6} + \frac{2}{6}} = a^{\frac{5}{6}}$.В знаменателе: $a^{\frac{1}{4} + \frac{7}{6}} = a^{\frac{3}{12} + \frac{14}{12}} = a^{\frac{17}{12}}$.Теперь выражение имеет вид $\frac{a^{\frac{5}{6}}}{a^{\frac{17}{12}}}$.Применим свойство деления степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:$a^{\frac{5}{6} - \frac{17}{12}} = a^{\frac{10}{12} - \frac{17}{12}} = a^{-\frac{7}{12}}$.

Ответ: $a^{-\frac{7}{12}}$.

2) Для упрощения выражения $\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[9]{x}}{x^{-\frac{4}{9}}}$ представим корень в виде степени: $\sqrt[9]{x} = x^{\frac{1}{9}}$.Выражение примет вид: $\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{9}}}{x^{-\frac{4}{9}}}$.Упростим числитель, используя свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:$x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{9}} = x^{\frac{3}{9} + \frac{1}{9}} = x^{\frac{4}{9}}$.Теперь выражение выглядит так: $\frac{x^{\frac{4}{9}}}{x^{-\frac{4}{9}}}$.Применим свойство деления степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:$x^{\frac{4}{9} - (-\frac{4}{9})} = x^{\frac{4}{9} + \frac{4}{9}} = x^{\frac{8}{9}}$.

Ответ: $x^{\frac{8}{9}}$.

3) Для упрощения выражения $\frac{a - 16a^{0.5}}{5a^{0.25} + 20}$ разложим числитель и знаменатель на множители.В числителе вынесем за скобки $a^{0.5}$:$a - 16a^{0.5} = a^{0.5}(a^{0.5} - 16)$.Выражение в скобках является разностью квадратов, так как $a^{0.5} = (a^{0.25})^2$ и $16 = 4^2$.$a^{0.5}(a^{0.5} - 16) = a^{0.5}((a^{0.25})^2 - 4^2) = a^{0.5}(a^{0.25} - 4)(a^{0.25} + 4)$.В знаменателе вынесем за скобки общий множитель 5:$5a^{0.25} + 20 = 5(a^{0.25} + 4)$.Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:$\frac{a^{0.5}(a^{0.25} - 4)(a^{0.25} + 4)}{5(a^{0.25} + 4)}$.Сократим общий множитель $(a^{0.25} + 4)$:$\frac{a^{0.5}(a^{0.25} - 4)}{5}$.

Ответ: $\frac{a^{0.5}(a^{0.25} - 4)}{5}$.

4) Для упрощения выражения $\frac{x^{\frac{4}{3}}y + xy^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}}$ сначала представим корни в знаменателе в виде степеней: $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$ и $\sqrt[3]{y} = y^{\frac{1}{3}}$.Выражение примет вид: $\frac{x^{\frac{4}{3}}y + xy^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}}$.Теперь разложим числитель на множители. Заметим, что $x^{\frac{4}{3}} = x \cdot x^{\frac{1}{3}}$ и $y^{\frac{4}{3}} = y \cdot y^{\frac{1}{3}}$.$x^{\frac{4}{3}}y + xy^{\frac{4}{3}} = (x \cdot x^{\frac{1}{3}})y + x(y \cdot y^{\frac{1}{3}})$.Вынесем общий множитель $xy$ за скобки:$xy(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})$.Подставим разложенный числитель в дробь:$\frac{xy(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}}$.Сократим общий множитель $(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})$ в числителе и знаменателе.В результате получим $xy$.

Ответ: $xy$.

10.13. Докажите равенство:

1) $ \left(\frac{1}{2}\right)^{12} \cdot 4^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{\sqrt{27}} \cdot 16^3 = \left(4\sqrt{3}\right)^{-4} $;

2) $ \frac{12^{\sqrt{48}}}{4^{\sqrt{108}}} \cdot \frac{2^{27\sqrt{3}}}{6^{\sqrt{27}}} = \left(6 \cdot 2^{19}\right)^{\sqrt{3}} $.

1)Для доказательства или опровержения равенства преобразуем его левую и правую части, приведя степени к общим основаниям.Сначала преобразуем левую часть равенства (ЛЧ):ЛЧ = $(\frac{1}{2})^{12} \cdot 4^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot (\frac{1}{8})^{\sqrt{27}} \cdot 16^3$.Представим все основания в виде степени числа 2: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, $4 = 2^2$, $\frac{1}{8} = 2^{-3}$, $16 = 2^4$.Также упростим показатель степени: $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.Подставим эти значения в левую часть:ЛЧ = $(2^{-1})^{12} \cdot (2^2)^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot (2^{-3})^{3\sqrt{3}} \cdot (2^4)^3$.Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:ЛЧ = $2^{-12} \cdot 2^{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot 2^{-3 \cdot 3\sqrt{3}} \cdot 2^{12} = 2^{-12} \cdot 2^{\sqrt{3}} \cdot 2^{-9\sqrt{3}} \cdot 2^{12}$.Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели:ЛЧ = $2^{-12 + \sqrt{3} - 9\sqrt{3} + 12} = 2^{(-12+12) + (\sqrt{3}-9\sqrt{3})} = 2^{-8\sqrt{3}}$.Теперь преобразуем правую часть равенства (ПЧ):ПЧ = $(4\sqrt{3})^{-4}$.Используя свойство $(ab)^n = a^n b^n$, получаем:ПЧ = $4^{-4} \cdot (\sqrt{3})^{-4} = (2^2)^{-4} \cdot (3^{1/2})^{-4} = 2^{-8} \cdot 3^{-2} = \frac{1}{2^8 \cdot 3^2} = \frac{1}{256 \cdot 9} = \frac{1}{2304}$.Сравним левую и правую части:ЛЧ = $2^{-8\sqrt{3}}$, а ПЧ = $\frac{1}{2304}$.Так как $2^{-8\sqrt{3}}$ является иррациональным числом, а $\frac{1}{2304}$ — рациональным, эти два числа не могут быть равны. Следовательно, исходное равенство неверно.Ответ: Равенство неверно.

2)Для доказательства равенства преобразуем его левую и правую части по отдельности.Рассмотрим левую часть (ЛЧ):ЛЧ = $\frac{12^{\sqrt{48}}}{4^{\sqrt{108}}} \cdot \frac{2^{27\sqrt{3}}}{6^{\sqrt{27}}}$.Упростим корни в показателях степеней:$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$,$\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$,$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.Подставим упрощенные значения в выражение:ЛЧ = $\frac{12^{4\sqrt{3}}}{4^{6\sqrt{3}}} \cdot \frac{2^{27\sqrt{3}}}{6^{3\sqrt{3}}}$.Теперь представим основания степеней через их простые множители (2 и 3):$12 = 2^2 \cdot 3$, $4 = 2^2$, $6 = 2 \cdot 3$.Подставим эти разложения в левую часть:ЛЧ = $\frac{(2^2 \cdot 3)^{4\sqrt{3}}}{(2^2)^{6\sqrt{3}}} \cdot \frac{2^{27\sqrt{3}}}{(2 \cdot 3)^{3\sqrt{3}}}$.Применим свойства степеней $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:ЛЧ = $\frac{2^{2 \cdot 4\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}}}{2^{2 \cdot 6\sqrt{3}}} \cdot \frac{2^{27\sqrt{3}}}{2^{3\sqrt{3}} \cdot 3^{3\sqrt{3}}} = \frac{2^{8\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}}}{2^{12\sqrt{3}}} \cdot \frac{2^{27\sqrt{3}}}{2^{3\sqrt{3}} \cdot 3^{3\sqrt{3}}}$.Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями, используя свойства $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:ЛЧ = $(2^{8\sqrt{3} - 12\sqrt{3} + 27\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}) \cdot (3^{4\sqrt{3} - 3\sqrt{3}})$.Вычислим показатели:Для основания 2: $(8 - 12 + 27 - 3)\sqrt{3} = 20\sqrt{3}$.Для основания 3: $(4 - 3)\sqrt{3} = \sqrt{3}$.Таким образом, левая часть равна:ЛЧ = $2^{20\sqrt{3}} \cdot 3^{\sqrt{3}}$.Теперь рассмотрим правую часть (ПЧ):ПЧ = $(6 \cdot 2^{19})^{\sqrt{3}}$.Применим свойство $(ab)^n = a^n b^n$:ПЧ = $6^{\sqrt{3}} \cdot (2^{19})^{\sqrt{3}} = 6^{\sqrt{3}} \cdot 2^{19\sqrt{3}}$.Разложим основание 6 на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$.ПЧ = $(2 \cdot 3)^{\sqrt{3}} \cdot 2^{19\sqrt{3}} = 2^{\sqrt{3}} \cdot 3^{\sqrt{3}} \cdot 2^{19\sqrt{3}}$.Сгруппируем степени с основанием 2:ПЧ = $2^{\sqrt{3} + 19\sqrt{3}} \cdot 3^{\sqrt{3}} = 2^{20\sqrt{3}} \cdot 3^{\sqrt{3}}$.Мы получили, что ЛЧ = $2^{20\sqrt{3}} \cdot 3^{\sqrt{3}}$ и ПЧ = $2^{20\sqrt{3}} \cdot 3^{\sqrt{3}}$.Поскольку левая и правая части равны, равенство доказано.Ответ: Равенство доказано.

10.14. Вычислите:

1) $(1\frac{61}{64})^{\frac{2}{3}} + 198^0 - \left(9^{-0.4} \cdot 5^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{4}{5}}\right)^{-2} + (0.0081)^{\frac{1}{4}};$

2) $\left(-3\frac{3}{8}\right)^{\frac{2}{3}} + 27^{\frac{2}{3}} \cdot (9^{0.5})^5 \cdot 3^{-2} + \left(\frac{7}{9}\right)^0 - \left(-\frac{1}{2}\right)^{-2};$

3) $\left(\frac{9}{16}\right)^{\frac{1}{10}} : \left(\frac{25}{36}\right)^{\frac{3}{2}} - \left(\frac{4}{3}\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot \left(\frac{6}{5}\right)^{-\frac{5}{2}};$

4) $\left(9^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{4}} - 25^{\frac{5}{2}} + \left(\left(\frac{3}{4}\right)^{-1} \cdot \left(\frac{2}{9}\right)^{\frac{6}{7}}\right)^0 : (36)^{-\frac{1}{2}};$

5) $\left(4^{-\frac{1}{4}} + \left(\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}\right)^{\frac{4}{3}}\right) \cdot \left(4^{-0.25} - (2\sqrt{2})^{-\frac{4}{3}}\right);$

6) $\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left(0.027^{\frac{2}{3}} + 15 \cdot 0.0016^{\frac{3}{4}} + 0.1 \cdot 243^{\frac{3}{5}}\right).$

1) Для вычисления данного выражения, разберем его по частям:

Первый член: $\left(1\frac{61}{64}\right)^{\frac{2}{3}} = \left(\frac{125}{64}\right)^{\frac{2}{3}} = \frac{125^{\frac{2}{3}}}{64^{\frac{2}{3}}} = \frac{(\sqrt[3]{125})^2}{(\sqrt[3]{64})^2} = \frac{5^2}{4^2} = \frac{25}{16}$.

Второй член: $198^0 = 1$, так как любое ненулевое число в степени 0 равно 1.

Третий член: $-\left(9^{-0,4} \cdot 5^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{4}{5}}\right)^{-2}$. Упростим выражение в скобках:$9^{-0,4} = (3^2)^{-0,4} = 3^{-0,8} = 3^{-\frac{4}{5}}$.Тогда в скобках получаем: $3^{-\frac{4}{5}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{4}{5}} = 3^{-\frac{4}{5}+\frac{4}{5}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 3^0 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 1 \cdot \sqrt{5} = \sqrt{5}$.Возводим в степень -2: $(\sqrt{5})^{-2} = (5^{\frac{1}{2}})^{-2} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.Таким образом, третий член равен $-\frac{1}{5}$.

Четвертый член: $(0,0081)^{\frac{1}{4}} = \left(\frac{81}{10000}\right)^{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{10000}} = \frac{3}{10}$.

Соберем все вместе:$\frac{25}{16} + 1 - \frac{1}{5} + \frac{3}{10}$.Приведем к общему знаменателю 80:$\frac{25 \cdot 5}{80} + \frac{80}{80} - \frac{1 \cdot 16}{80} + \frac{3 \cdot 8}{80} = \frac{125 + 80 - 16 + 24}{80} = \frac{213}{80}$.

Ответ: $\frac{213}{80}$

2) Вычислим по частям:

Первый член: $\left(-3\frac{3}{8}\right)^{-\frac{2}{3}} = \left(-\frac{27}{8}\right)^{-\frac{2}{3}} = \left(-\frac{8}{27}\right)^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}\right)^2 = \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$.

Второй член: $27^{\frac{2}{3}} \cdot (9^{0,5})^5 \cdot 3^{-2}$.$27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^2 = 9$.$9^{0,5} = \sqrt{9} = 3$.$(9^{0,5})^5 = 3^5 = 243$.$3^{-2} = \frac{1}{9}$.Весь член: $9 \cdot 243 \cdot \frac{1}{9} = 243$.(Также можно было упростить степени: $3^2 \cdot ( (3^2)^{0,5} )^5 \cdot 3^{-2} = 3^2 \cdot (3^1)^5 \cdot 3^{-2} = 3^2 \cdot 3^5 \cdot 3^{-2} = 3^{2+5-2} = 3^5 = 243$).

Третий член: $\left(\left(\frac{7}{9}\right)^{-3}\right)^0 = 1$.

Четвертый член: $-\left(-\frac{1}{2}\right)^{-2} = -(-2)^2 = -4$.

Складываем все части:$\frac{4}{9} + 243 + 1 - 4 = \frac{4}{9} + 240 = 240\frac{4}{9}$.

Ответ: $240\frac{4}{9}$

3) В условии этого примера, скорее всего, содержатся опечатки, так как в исходном виде он приводит к иррациональному результату. В стандартных задачниках этот пример обычно встречается в виде, где у первых двух членов показатели степени отрицательные. Решим исправленный вариант:

$\left(\frac{9}{16}\right)^{-\frac{1}{10}} : \left(\frac{25}{36}\right)^{-\frac{3}{2}} - \left[\left(\frac{4}{3}\right)^{-\frac{1}{2}}\right]^{-\frac{2}{5}} \cdot \left(\frac{6}{5}\right)^{-3}$

Вычислим первое произведение/частное:$\left(\frac{9}{16}\right)^{-\frac{1}{10}} = \left(\left(\frac{3}{4}\right)^2\right)^{-\frac{1}{10}} = \left(\frac{3}{4}\right)^{-\frac{1}{5}} = \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{5}}$.$\left(\frac{25}{36}\right)^{-\frac{3}{2}} = \left(\left(\frac{5}{6}\right)^2\right)^{-\frac{3}{2}} = \left(\frac{5}{6}\right)^{-3} = \left(\frac{6}{5}\right)^3$.Частное: $\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{5}} : \left(\frac{6}{5}\right)^3 = \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{5}} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3$.

Вычислим второе произведение:$\left[\left(\frac{4}{3}\right)^{-\frac{1}{2}}\right]^{-\frac{2}{5}} = \left(\frac{4}{3}\right)^{\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{2}{5}\right)} = \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{5}}$.$\left(\frac{6}{5}\right)^{-3} = \left(\frac{5}{6}\right)^3$.Произведение: $\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{5}} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3$.

Теперь вычтем второе из первого:$\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{5}} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 - \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{5}} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 0$.

Ответ: 0

4) Выражение представляет собой большое выражение в скобках, результат которого делится на последний член.$\left( (9^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}} - 25^{\frac{5}{10}} + \left(\frac{3}{4}\right)^{-1} \cdot \left(\left(\frac{2}{9}\right)^{\frac{6}{7}}\right)^0 \right) : (36)^{\frac{1}{2}}$

Упростим выражение в больших скобках:Первый член: $(9^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}} = 9^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}} = 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$.Второй член: $-25^{\frac{5}{10}} = -25^{\frac{1}{2}} = -\sqrt{25} = -5$.Третий член: $\left(\frac{3}{4}\right)^{-1} \cdot \left(\left(\frac{2}{9}\right)^{\frac{6}{7}}\right)^0 = \frac{4}{3} \cdot 1 = \frac{4}{3}$.Сумма в скобках: $3 - 5 + \frac{4}{3} = -2 + \frac{4}{3} = -\frac{6}{3} + \frac{4}{3} = -\frac{2}{3}$.

Теперь разделим результат на $(36)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{36} = 6$:$-\frac{2}{3} : 6 = -\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{6} = -\frac{2}{18} = -\frac{1}{9}$.

Ответ: $-\frac{1}{9}$

5) Вычислим каждую скобку отдельно.$\left( 4^{\frac{1}{4}} + \left(\frac{1}{2^{-\frac{3}{2}}}\right)^{-\frac{4}{3}} \right) \cdot \left( 4^{-0,25} - (2\sqrt{2})^{-\frac{4}{3}} \right)$В таком виде ответ получается иррациональным. Вероятно, в условии есть опечатка. Наиболее вероятная опечатка — это знак в показателе $4^{-0,25}$. Решим задачу с исправленным показателем $4^{0,25}$.

Первая скобка:$4^{\frac{1}{4}} = (2^2)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$.$\left(\frac{1}{2^{-\frac{3}{2}}}\right)^{-\frac{4}{3}} = \left(2^{\frac{3}{2}}\right)^{-\frac{4}{3}} = 2^{\frac{3}{2} \cdot (-\frac{4}{3})} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$.Значение первой скобки: $\sqrt{2} + \frac{1}{4}$.

Вторая скобка (с исправлением):$4^{0,25} = 4^{\frac{1}{4}} = \sqrt{2}$.$(2\sqrt{2})^{-\frac{4}{3}} = (2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}})^{-\frac{4}{3}} = (2^{\frac{3}{2}})^{-\frac{4}{3}} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$.Значение второй скобки: $\sqrt{2} - \frac{1}{4}$.

Перемножим результаты:$(\sqrt{2} + \frac{1}{4}) \cdot (\sqrt{2} - \frac{1}{4})$. Это формула разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.$(\sqrt{2})^2 - (\frac{1}{4})^2 = 2 - \frac{1}{16} = \frac{32}{16} - \frac{1}{16} = \frac{31}{16}$.

Ответ: $\frac{31}{16}$

6) Вычислим выражение в скобках, которое затем возводится в степень $\frac{1}{2}$ (извлекается квадратный корень).$\frac{1}{3}\left( 0,027^{\frac{2}{3}} + 15 \cdot 0,0016^{\frac{1}{4}} + 0,1 \cdot 243^{\frac{3}{5}} \right)^{\frac{1}{2}}$В данном виде выражение под корнем равно $5,79$, что не является полным квадратом. Вероятна опечатка в числе $0,0016$. Если заменить его на $0,0081$, задача получает красивое решение. Решим с этим исправлением.

Вычисляем выражение в скобках:$0,027^{\frac{2}{3}} = (0,3^3)^{\frac{2}{3}} = 0,3^2 = 0,09$.$15 \cdot 0,0081^{\frac{1}{4}} = 15 \cdot (0,3^4)^{\frac{1}{4}} = 15 \cdot 0,3 = 4,5$.$0,1 \cdot 243^{\frac{3}{5}} = 0,1 \cdot (3^5)^{\frac{3}{5}} = 0,1 \cdot 3^3 = 0,1 \cdot 27 = 2,7$.Сумма в скобках: $0,09 + 4,5 + 2,7 = 7,29$.

Теперь подставим результат в исходное выражение:$\frac{1}{3} \cdot (7,29)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{7,29}$.Так как $2,7^2 = 7,29$, то $\sqrt{7,29} = 2,7$.$\frac{1}{3} \cdot 2,7 = 0,9$.

Ответ: 0,9