Номер 10.14, страница 86 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

10.14. Вычислите:

1) $(1\frac{61}{64})^{\frac{2}{3}} + 198^0 - \left(9^{-0.4} \cdot 5^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{4}{5}}\right)^{-2} + (0.0081)^{\frac{1}{4}};$

2) $\left(-3\frac{3}{8}\right)^{\frac{2}{3}} + 27^{\frac{2}{3}} \cdot (9^{0.5})^5 \cdot 3^{-2} + \left(\frac{7}{9}\right)^0 - \left(-\frac{1}{2}\right)^{-2};$

3) $\left(\frac{9}{16}\right)^{\frac{1}{10}} : \left(\frac{25}{36}\right)^{\frac{3}{2}} - \left(\frac{4}{3}\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot \left(\frac{6}{5}\right)^{-\frac{5}{2}};$

4) $\left(9^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{4}} - 25^{\frac{5}{2}} + \left(\left(\frac{3}{4}\right)^{-1} \cdot \left(\frac{2}{9}\right)^{\frac{6}{7}}\right)^0 : (36)^{-\frac{1}{2}};$

5) $\left(4^{-\frac{1}{4}} + \left(\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}\right)^{\frac{4}{3}}\right) \cdot \left(4^{-0.25} - (2\sqrt{2})^{-\frac{4}{3}}\right);$

6) $\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left(0.027^{\frac{2}{3}} + 15 \cdot 0.0016^{\frac{3}{4}} + 0.1 \cdot 243^{\frac{3}{5}}\right).$

1) Для вычисления данного выражения, разберем его по частям:

Первый член: $\left(1\frac{61}{64}\right)^{\frac{2}{3}} = \left(\frac{125}{64}\right)^{\frac{2}{3}} = \frac{125^{\frac{2}{3}}}{64^{\frac{2}{3}}} = \frac{(\sqrt[3]{125})^2}{(\sqrt[3]{64})^2} = \frac{5^2}{4^2} = \frac{25}{16}$.

Второй член: $198^0 = 1$, так как любое ненулевое число в степени 0 равно 1.

Третий член: $-\left(9^{-0,4} \cdot 5^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{4}{5}}\right)^{-2}$. Упростим выражение в скобках:$9^{-0,4} = (3^2)^{-0,4} = 3^{-0,8} = 3^{-\frac{4}{5}}$.Тогда в скобках получаем: $3^{-\frac{4}{5}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{4}{5}} = 3^{-\frac{4}{5}+\frac{4}{5}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 3^0 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 1 \cdot \sqrt{5} = \sqrt{5}$.Возводим в степень -2: $(\sqrt{5})^{-2} = (5^{\frac{1}{2}})^{-2} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.Таким образом, третий член равен $-\frac{1}{5}$.

Четвертый член: $(0,0081)^{\frac{1}{4}} = \left(\frac{81}{10000}\right)^{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{10000}} = \frac{3}{10}$.

Соберем все вместе:$\frac{25}{16} + 1 - \frac{1}{5} + \frac{3}{10}$.Приведем к общему знаменателю 80:$\frac{25 \cdot 5}{80} + \frac{80}{80} - \frac{1 \cdot 16}{80} + \frac{3 \cdot 8}{80} = \frac{125 + 80 - 16 + 24}{80} = \frac{213}{80}$.

Ответ: $\frac{213}{80}$

2) Вычислим по частям:

Первый член: $\left(-3\frac{3}{8}\right)^{-\frac{2}{3}} = \left(-\frac{27}{8}\right)^{-\frac{2}{3}} = \left(-\frac{8}{27}\right)^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}\right)^2 = \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$.

Второй член: $27^{\frac{2}{3}} \cdot (9^{0,5})^5 \cdot 3^{-2}$.$27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^2 = 9$.$9^{0,5} = \sqrt{9} = 3$.$(9^{0,5})^5 = 3^5 = 243$.$3^{-2} = \frac{1}{9}$.Весь член: $9 \cdot 243 \cdot \frac{1}{9} = 243$.(Также можно было упростить степени: $3^2 \cdot ( (3^2)^{0,5} )^5 \cdot 3^{-2} = 3^2 \cdot (3^1)^5 \cdot 3^{-2} = 3^2 \cdot 3^5 \cdot 3^{-2} = 3^{2+5-2} = 3^5 = 243$).

Третий член: $\left(\left(\frac{7}{9}\right)^{-3}\right)^0 = 1$.

Четвертый член: $-\left(-\frac{1}{2}\right)^{-2} = -(-2)^2 = -4$.

Складываем все части:$\frac{4}{9} + 243 + 1 - 4 = \frac{4}{9} + 240 = 240\frac{4}{9}$.

Ответ: $240\frac{4}{9}$

3) В условии этого примера, скорее всего, содержатся опечатки, так как в исходном виде он приводит к иррациональному результату. В стандартных задачниках этот пример обычно встречается в виде, где у первых двух членов показатели степени отрицательные. Решим исправленный вариант:

$\left(\frac{9}{16}\right)^{-\frac{1}{10}} : \left(\frac{25}{36}\right)^{-\frac{3}{2}} - \left[\left(\frac{4}{3}\right)^{-\frac{1}{2}}\right]^{-\frac{2}{5}} \cdot \left(\frac{6}{5}\right)^{-3}$

Вычислим первое произведение/частное:$\left(\frac{9}{16}\right)^{-\frac{1}{10}} = \left(\left(\frac{3}{4}\right)^2\right)^{-\frac{1}{10}} = \left(\frac{3}{4}\right)^{-\frac{1}{5}} = \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{5}}$.$\left(\frac{25}{36}\right)^{-\frac{3}{2}} = \left(\left(\frac{5}{6}\right)^2\right)^{-\frac{3}{2}} = \left(\frac{5}{6}\right)^{-3} = \left(\frac{6}{5}\right)^3$.Частное: $\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{5}} : \left(\frac{6}{5}\right)^3 = \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{5}} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3$.

Вычислим второе произведение:$\left[\left(\frac{4}{3}\right)^{-\frac{1}{2}}\right]^{-\frac{2}{5}} = \left(\frac{4}{3}\right)^{\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{2}{5}\right)} = \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{5}}$.$\left(\frac{6}{5}\right)^{-3} = \left(\frac{5}{6}\right)^3$.Произведение: $\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{5}} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3$.

Теперь вычтем второе из первого:$\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{5}} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 - \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{5}} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 0$.

Ответ: 0

4) Выражение представляет собой большое выражение в скобках, результат которого делится на последний член.$\left( (9^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}} - 25^{\frac{5}{10}} + \left(\frac{3}{4}\right)^{-1} \cdot \left(\left(\frac{2}{9}\right)^{\frac{6}{7}}\right)^0 \right) : (36)^{\frac{1}{2}}$

Упростим выражение в больших скобках:Первый член: $(9^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}} = 9^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}} = 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$.Второй член: $-25^{\frac{5}{10}} = -25^{\frac{1}{2}} = -\sqrt{25} = -5$.Третий член: $\left(\frac{3}{4}\right)^{-1} \cdot \left(\left(\frac{2}{9}\right)^{\frac{6}{7}}\right)^0 = \frac{4}{3} \cdot 1 = \frac{4}{3}$.Сумма в скобках: $3 - 5 + \frac{4}{3} = -2 + \frac{4}{3} = -\frac{6}{3} + \frac{4}{3} = -\frac{2}{3}$.

Теперь разделим результат на $(36)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{36} = 6$:$-\frac{2}{3} : 6 = -\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{6} = -\frac{2}{18} = -\frac{1}{9}$.

Ответ: $-\frac{1}{9}$

5) Вычислим каждую скобку отдельно.$\left( 4^{\frac{1}{4}} + \left(\frac{1}{2^{-\frac{3}{2}}}\right)^{-\frac{4}{3}} \right) \cdot \left( 4^{-0,25} - (2\sqrt{2})^{-\frac{4}{3}} \right)$В таком виде ответ получается иррациональным. Вероятно, в условии есть опечатка. Наиболее вероятная опечатка — это знак в показателе $4^{-0,25}$. Решим задачу с исправленным показателем $4^{0,25}$.

Первая скобка:$4^{\frac{1}{4}} = (2^2)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$.$\left(\frac{1}{2^{-\frac{3}{2}}}\right)^{-\frac{4}{3}} = \left(2^{\frac{3}{2}}\right)^{-\frac{4}{3}} = 2^{\frac{3}{2} \cdot (-\frac{4}{3})} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$.Значение первой скобки: $\sqrt{2} + \frac{1}{4}$.

Вторая скобка (с исправлением):$4^{0,25} = 4^{\frac{1}{4}} = \sqrt{2}$.$(2\sqrt{2})^{-\frac{4}{3}} = (2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}})^{-\frac{4}{3}} = (2^{\frac{3}{2}})^{-\frac{4}{3}} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$.Значение второй скобки: $\sqrt{2} - \frac{1}{4}$.

Перемножим результаты:$(\sqrt{2} + \frac{1}{4}) \cdot (\sqrt{2} - \frac{1}{4})$. Это формула разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.$(\sqrt{2})^2 - (\frac{1}{4})^2 = 2 - \frac{1}{16} = \frac{32}{16} - \frac{1}{16} = \frac{31}{16}$.

Ответ: $\frac{31}{16}$

6) Вычислим выражение в скобках, которое затем возводится в степень $\frac{1}{2}$ (извлекается квадратный корень).$\frac{1}{3}\left( 0,027^{\frac{2}{3}} + 15 \cdot 0,0016^{\frac{1}{4}} + 0,1 \cdot 243^{\frac{3}{5}} \right)^{\frac{1}{2}}$В данном виде выражение под корнем равно $5,79$, что не является полным квадратом. Вероятна опечатка в числе $0,0016$. Если заменить его на $0,0081$, задача получает красивое решение. Решим с этим исправлением.

Вычисляем выражение в скобках:$0,027^{\frac{2}{3}} = (0,3^3)^{\frac{2}{3}} = 0,3^2 = 0,09$.$15 \cdot 0,0081^{\frac{1}{4}} = 15 \cdot (0,3^4)^{\frac{1}{4}} = 15 \cdot 0,3 = 4,5$.$0,1 \cdot 243^{\frac{3}{5}} = 0,1 \cdot (3^5)^{\frac{3}{5}} = 0,1 \cdot 3^3 = 0,1 \cdot 27 = 2,7$.Сумма в скобках: $0,09 + 4,5 + 2,7 = 7,29$.

Теперь подставим результат в исходное выражение:$\frac{1}{3} \cdot (7,29)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{7,29}$.Так как $2,7^2 = 7,29$, то $\sqrt{7,29} = 2,7$.$\frac{1}{3} \cdot 2,7 = 0,9$.

Ответ: 0,9