Номер 10.9, страница 85 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

10.9. Сравните:

1) $12^{\frac{8}{9}}$ и $12^{\frac{3}{2}};$

2) $8^{\frac{3}{2}}$ и $8^{\frac{4}{3}};$

3) $\left(\frac{1}{18}\right)^{\frac{5}{4}}$ и $\left(\frac{1}{18}\right)^{\frac{6}{5}};$

4) $\left(\frac{1}{5}\right)^{1.5}$ и $\left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{5}{3}}.$

1) Для сравнения чисел $12^{\frac{3}{4}}$ и $12^{\frac{2}{3}}$ необходимо сравнить их показатели степени, так как основания у них одинаковы. Основание степени $a = 12$ больше единицы ($12 > 1$). Степенная функция $y=a^x$ при $a > 1$ является возрастающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует большее значение самой степени. Сравним показатели $\frac{3}{4}$ и $\frac{2}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю 12: $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$ и $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$. Так как $9 > 8$, то $\frac{9}{12} > \frac{8}{12}$, следовательно, $\frac{3}{4} > \frac{2}{3}$. Поскольку функция возрастающая, то из $\frac{3}{4} > \frac{2}{3}$ следует, что $12^{\frac{3}{4}} > 12^{\frac{2}{3}}$.

Ответ: $12^{\frac{3}{4}} > 12^{\frac{2}{3}}$.

2) Сравниваем числа $8^{\frac{3}{2}}$ и $8^{\frac{4}{3}}$. Основание степени $a = 8$ больше единицы ($8 > 1$), следовательно, степенная функция $y=8^x$ является возрастающей. Сравним показатели степеней $\frac{3}{2}$ и $\frac{4}{3}$. Общий знаменатель для этих дробей равен 6. Получаем: $\frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{9}{6}$ и $\frac{4}{3} = \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{8}{6}$. Так как $9 > 8$, то $\frac{9}{6} > \frac{8}{6}$, а значит $\frac{3}{2} > \frac{4}{3}$. В силу того, что функция возрастающая, большему показателю соответствует большее значение степени, поэтому $8^{\frac{3}{2}} > 8^{\frac{4}{3}}$.

Ответ: $8^{\frac{3}{2}} > 8^{\frac{4}{3}}$.

3) Сравниваем числа $(\frac{1}{18})^{\frac{5}{4}}$ и $(\frac{1}{18})^{\frac{6}{5}}$. Основание степени $a = \frac{1}{18}$ находится в интервале $0 < a < 1$. Степенная функция $y=a^x$ при $0 < a < 1$ является убывающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует меньшее значение самой степени (знак неравенства меняется на противоположный). Сравним показатели $\frac{5}{4}$ и $\frac{6}{5}$. Приведем их к общему знаменателю 20: $\frac{5}{4} = \frac{5 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{25}{20}$ и $\frac{6}{5} = \frac{6 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{24}{20}$. Так как $25 > 24$, то $\frac{25}{20} > \frac{24}{20}$, следовательно, $\frac{5}{4} > \frac{6}{5}$. Поскольку функция убывающая, из $\frac{5}{4} > \frac{6}{5}$ следует, что $(\frac{1}{18})^{\frac{5}{4}} < (\frac{1}{18})^{\frac{6}{5}}$.

Ответ: $(\frac{1}{18})^{\frac{5}{4}} < (\frac{1}{18})^{\frac{6}{5}}$.

4) Сравниваем числа $(\frac{1}{5})^{1.5}$ и $(\frac{1}{5})^{\frac{5}{3}}$. Основание степени $a = \frac{1}{5}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, поэтому степенная функция $y=(\frac{1}{5})^x$ является убывающей. Сравним показатели степеней $1.5$ и $\frac{5}{3}$. Для этого представим десятичную дробь $1.5$ в виде обыкновенной: $1.5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$. Теперь сравним дроби $\frac{3}{2}$ и $\frac{5}{3}$. Их общий знаменатель равен 6: $\frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{9}{6}$ и $\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{10}{6}$. Так как $9 < 10$, то $\frac{9}{6} < \frac{10}{6}$, а значит $1.5 < \frac{5}{3}$. Так как функция убывающая, меньшему показателю соответствует большее значение степени. Следовательно, $(\frac{1}{5})^{1.5} > (\frac{1}{5})^{\frac{5}{3}}$.

Ответ: $(\frac{1}{5})^{1.5} > (\frac{1}{5})^{\frac{5}{3}}$.