Номер 10.6, страница 85 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

10.6. Найдите значение выражения:

1) $4^{1.5} - 9^{0.5} + \left(\frac{1}{64}\right)^{\frac{2}{3}}$;

2) $8^{\frac{2}{3}} - \left(\frac{1}{16}\right)^{-0.75} + \left(\frac{1}{4}\right)^{1.5}$;

3) $\left(125^{-\frac{1}{3}} - 36^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \left(16^{\frac{1}{4}} + 216^{\frac{1}{3}}\right)^0$;

4) $\left(\frac{2}{5}\right)^{-3} \cdot \left(6\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}}$.

1) Для решения выражения $4^{1.5} - 9^{0.5} + (\frac{1}{64})^{-\frac{2}{3}}$ вычислим значение каждого члена по отдельности, используя свойства степеней.

Первый член: $4^{1.5} = 4^{\frac{3}{2}} = (4^{\frac{1}{2}})^3 = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$.

Второй член: $9^{0.5} = 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$.

Третий член: $(\frac{1}{64})^{-\frac{2}{3}}$. Отрицательная степень означает, что мы переворачиваем дробь: $(64)^{\frac{2}{3}}$. Дробная степень $\frac{2}{3}$ означает, что мы сначала извлекаем кубический корень, а затем возводим в квадрат: $(\sqrt[3]{64})^2 = 4^2 = 16$.

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение: $8 - 3 + 16 = 5 + 16 = 21$.

Ответ: 21.

2) Для решения выражения $8^{\frac{2}{3}} - (\frac{1}{16})^{-0.75} + (\frac{1}{4})^{1.5}$ вычислим значение каждого члена по отдельности.

Первый член: $8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.

Второй член: $(\frac{1}{16})^{-0.75} = (\frac{1}{16})^{-\frac{3}{4}}$. Переворачиваем дробь из-за отрицательной степени: $(16)^{\frac{3}{4}}$. Извлекаем корень четвертой степени и возводим в куб: $(\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8$.

Третий член: $(\frac{1}{4})^{1.5} = (\frac{1}{4})^{\frac{3}{2}}$. Извлекаем квадратный корень и возводим в куб: $(\sqrt{\frac{1}{4}})^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.

Теперь подставим значения в выражение: $4 - 8 + \frac{1}{8} = -4 + \frac{1}{8} = -\frac{32}{8} + \frac{1}{8} = -\frac{31}{8}$.

Ответ: $-\frac{31}{8}$.

3) Для решения выражения $(125^{-\frac{1}{3}} - 36^{\frac{1}{2}}) \cdot (16^{\frac{1}{4}} + 216^{\frac{1}{3}})^0$ сначала упростим каждый множитель.

Рассмотрим второй множитель: $(16^{\frac{1}{4}} + 216^{\frac{1}{3}})^0$. Любое ненулевое число в степени 0 равно 1. Проверим, не равно ли основание нулю: $16^{\frac{1}{4}} + 216^{\frac{1}{3}} = \sqrt[4]{16} + \sqrt[3]{216} = 2 + 6 = 8$. Так как $8 \neq 0$, то $(8)^0 = 1$.

Теперь вычислим значение выражения в первых скобках: $125^{-\frac{1}{3}} - 36^{\frac{1}{2}}$.

$125^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{125^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{125}} = \frac{1}{5}$.

$36^{\frac{1}{2}} = \sqrt{36} = 6$.

Значение в первых скобках: $\frac{1}{5} - 6 = \frac{1}{5} - \frac{30}{5} = -\frac{29}{5}$.

Теперь перемножим результаты: $(-\frac{29}{5}) \cdot 1 = -\frac{29}{5}$.

Ответ: $-\frac{29}{5}$.

4) Для решения выражения $(\frac{2}{5})^{-3} \cdot (6\frac{1}{4})^{-\frac{3}{2}}$ упростим каждый множитель.

Первый множитель: $(\frac{2}{5})^{-3} = (\frac{5}{2})^3 = \frac{5^3}{2^3} = \frac{125}{8}$.

Второй множитель: $(6\frac{1}{4})^{-\frac{3}{2}}$. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $6\frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{25}{4}$.

Теперь возведем в степень: $(\frac{25}{4})^{-\frac{3}{2}} = (\frac{4}{25})^{\frac{3}{2}}$. Это равносильно извлечению квадратного корня и возведению в куб: $(\sqrt{\frac{4}{25}})^3 = (\frac{2}{5})^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125}$.

Теперь перемножим полученные значения: $\frac{125}{8} \cdot \frac{8}{125} = 1$.

Ответ: 1.