Номер 10.7, страница 85 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

10.7. Упростите:

1) $ \left( a^4 \right)^{\frac{3}{6}} $; 2) $ \left( a^6 \right)^{\frac{3}{10}} $; 3) $ \left( (a+x)^{\frac{2}{5}} \right)^{\frac{1}{4}} $; 4) $ \left( \left( \frac{a-b}{a+b} \right)^{\frac{2}{3}} \right)^3 $.

1) Для упрощения выражения $(a^{\frac{3}{4}})^{\frac{5}{6}}$ используется свойство возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Согласно этому свойству, необходимо перемножить показатели степеней.

$(a^{\frac{3}{4}})^{\frac{5}{6}} = a^{\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6}} = a^{\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 6}} = a^{\frac{15}{24}}$.

Далее сократим дробь в показателе степени:

$\frac{15}{24} = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 8} = \frac{5}{8}$.

Таким образом, итоговое выражение: $a^{\frac{5}{8}}$.

Ответ: $a^{\frac{5}{8}}$

2) Для упрощения выражения $(a^{\frac{5}{6}})^{\frac{3}{10}}$ применяется то же свойство степени: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Перемножим показатели степеней:

$(a^{\frac{5}{6}})^{\frac{3}{10}} = a^{\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{10}} = a^{\frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 10}} = a^{\frac{15}{60}}$.

Теперь сократим полученную дробь в показателе:

$\frac{15}{60} = \frac{15}{4 \cdot 15} = \frac{1}{4}$.

В результате упрощения получаем: $a^{\frac{1}{4}}$.

Ответ: $a^{\frac{1}{4}}$

3) Упростим выражение $((a+x)^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{4}}$. В данном случае основанием степени является выражение $(a+x)$.

Используем свойство $(B^m)^n = B^{m \cdot n}$, где $B = a+x$.

Перемножим показатели:

$((a+x)^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{4}} = (a+x)^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4}} = (a+x)^{\frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 4}} = (a+x)^{\frac{2}{12}}$.

Сократим дробь в показателе:

$\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.

Итоговое выражение: $(a+x)^{\frac{1}{6}}$.

Ответ: $(a+x)^{\frac{1}{6}}$

4) Рассмотрим выражение $((\frac{a-b}{a+b})^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}}$. Основанием степени здесь является дробь $\frac{a-b}{a+b}$.

Применим свойство возведения степени в степень $(B^m)^n = B^{m \cdot n}$, где $B = \frac{a-b}{a+b}$.

Умножим показатели степеней друг на друга:

$((\frac{a-b}{a+b})^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}} = (\frac{a-b}{a+b})^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}} = (\frac{a-b}{a+b})^{\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4}} = (\frac{a-b}{a+b})^{\frac{6}{12}}$.

Сократим полученную в показателе дробь:

$\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, упрощенное выражение имеет вид: $(\frac{a-b}{a+b})^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $(\frac{a-b}{a+b})^{\frac{1}{2}}$