Номер 10.2, страница 84 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

10.2. Вычислите:

1) $8^{\frac{1}{3}}$; 2) $16^{\frac{3}{4}}$; 3) $64^{-\frac{1}{2}}$; 4) $0.25^{-\frac{1}{2}}$;

5) $0.36^{\frac{1}{2}}$; 6) $(-27)^{-\frac{4}{3}}$; 7) $(\frac{9}{4})^{\frac{1}{2}}$; 8) $32^{-\frac{1}{5}}$.

1) Для вычисления $8^{\frac{1}{3}}$ воспользуемся определением степени с рациональным показателем $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В нашем случае $a=8, m=1, n=3$. $8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8^1} = \sqrt[3]{8}$. Так как $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$, то кубический корень из 8 равен 2. Другой способ — представить основание в виде степени: $8=2^3$. Тогда, используя свойство $(a^p)^q = a^{p \cdot q}$, получаем: $8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 2^1 = 2$.

Ответ: 2

2) Для вычисления $16^{\frac{3}{4}}$ представим основание 16 как степень числа 2: $16 = 2^4$. $16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}}$. По свойству степени $(a^p)^q = a^{p \cdot q}$ получаем: $2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8$. Альтернативно, можно сначала извлечь корень: $16^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8$.

Ответ: 8

3) Для вычисления $64^{-\frac{1}{2}}$ воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. $64^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{64^{\frac{1}{2}}}$. Степень с показателем $\frac{1}{2}$ эквивалентна квадратному корню: $\frac{1}{64^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{64}} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$

4) Для вычисления $0.25^{-\frac{1}{2}}$ сначала представим десятичную дробь $0.25$ в виде обыкновенной дроби: $0.25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$. $0.25^{-\frac{1}{2}} = (\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}}$. Используем свойство степени с отрицательным показателем для дроби: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. $(\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{4}{1})^{\frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: 2

5) Для вычисления $0.36^{\frac{1}{2}}$ представим десятичную дробь $0.36$ в виде обыкновенной: $0.36 = \frac{36}{100}$. $0.36^{\frac{1}{2}} = (\frac{36}{100})^{\frac{1}{2}}$. Используем свойство $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$: $(\frac{36}{100})^{\frac{1}{2}} = \frac{36^{\frac{1}{2}}}{100^{\frac{1}{2}}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{100}} = \frac{6}{10} = 0.6$.

Ответ: 0.6

6) Для вычисления $(-27)^{-\frac{4}{3}}$ применим свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $(-27)^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{(-27)^{\frac{4}{3}}}$. Теперь вычислим знаменатель. Используем свойство $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$. Так как знаменатель показателя (3) нечетный, корень из отрицательного числа определен. $(-27)^{\frac{4}{3}} = (\sqrt[3]{-27})^4$. Кубический корень из -27 равен -3, так как $(-3)^3 = -27$. $(\sqrt[3]{-27})^4 = (-3)^4 = 81$. Таким образом, исходное выражение равно $\frac{1}{81}$.

Ответ: $\frac{1}{81}$

7) Для вычисления $(2\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}}$ сначала переведем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$. $(2\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{9}{4})^{-\frac{1}{2}}$. Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$: $(\frac{9}{4})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{4}{9})^{\frac{1}{2}} = \frac{4^{\frac{1}{2}}}{9^{\frac{1}{2}}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

8) Для вычисления $32^{-\frac{1}{5}}$ используем свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $32^{-\frac{1}{5}} = \frac{1}{32^{\frac{1}{5}}}$. Степень с показателем $\frac{1}{5}$ означает корень пятой степени: $\frac{1}{32^{\frac{1}{5}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{32}}$. Так как $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$. Следовательно, результат равен $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$