Номер 9.17, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

9.17. Является ли корнем уравнения $x^3 + 2x^2 - 2x - 4 = 0$ число:

1) $\sqrt{2}$;

2) $\sqrt{3}$;

3) $2\sqrt{2}$;

4) $-\sqrt{2}$?

Для того чтобы проверить, является ли число корнем уравнения $x^3 + 2x^2 - 2x - 4 = 0$, необходимо подставить это число вместо переменной $x$ в уравнение и проверить, выполняется ли равенство.

1) $\sqrt{2}$

Подставим $x = \sqrt{2}$ в левую часть уравнения:

$(\sqrt{2})^3 + 2(\sqrt{2})^2 - 2(\sqrt{2}) - 4$

Вычислим степени:

$(\sqrt{2})^2 = 2$

$(\sqrt{2})^3 = (\sqrt{2})^2 \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Подставим полученные значения в выражение:

$2\sqrt{2} + 2 \cdot 2 - 2\sqrt{2} - 4 = 2\sqrt{2} + 4 - 2\sqrt{2} - 4$

Сгруппируем и упростим:

$(2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) + (4 - 4) = 0 + 0 = 0$

Получили $0 = 0$. Равенство верное, значит, число $\sqrt{2}$ является корнем уравнения.

Ответ: да, является.

2) $\sqrt{3}$

Подставим $x = \sqrt{3}$ в левую часть уравнения:

$(\sqrt{3})^3 + 2(\sqrt{3})^2 - 2(\sqrt{3}) - 4$

Вычислим степени:

$(\sqrt{3})^2 = 3$

$(\sqrt{3})^3 = (\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

Подставим полученные значения в выражение:

$3\sqrt{3} + 2 \cdot 3 - 2\sqrt{3} - 4 = 3\sqrt{3} + 6 - 2\sqrt{3} - 4$

Сгруппируем и упростим:

$(3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) + (6 - 4) = \sqrt{3} + 2$

Получили $\sqrt{3} + 2 \neq 0$. Равенство неверное, значит, число $\sqrt{3}$ не является корнем уравнения.

Ответ: нет, не является.

3) $2\sqrt{2}$

Подставим $x = 2\sqrt{2}$ в левую часть уравнения:

$(2\sqrt{2})^3 + 2(2\sqrt{2})^2 - 2(2\sqrt{2}) - 4$

Вычислим степени:

$(2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$

$(2\sqrt{2})^3 = (2\sqrt{2})^2 \cdot 2\sqrt{2} = 8 \cdot 2\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$

Подставим полученные значения в выражение:

$16\sqrt{2} + 2 \cdot 8 - 2(2\sqrt{2}) - 4 = 16\sqrt{2} + 16 - 4\sqrt{2} - 4$

Сгруппируем и упростим:

$(16\sqrt{2} - 4\sqrt{2}) + (16 - 4) = 12\sqrt{2} + 12$

Получили $12\sqrt{2} + 12 \neq 0$. Равенство неверное, значит, число $2\sqrt{2}$ не является корнем уравнения.

Ответ: нет, не является.

4) $-\sqrt{2}$

Подставим $x = -\sqrt{2}$ в левую часть уравнения:

$(-\sqrt{2})^3 + 2(-\sqrt{2})^2 - 2(-\sqrt{2}) - 4$

Вычислим степени:

$(-\sqrt{2})^2 = 2$

$(-\sqrt{2})^3 = -(\sqrt{2})^3 = -2\sqrt{2}$

Подставим полученные значения в выражение:

$-2\sqrt{2} + 2 \cdot 2 - 2(-\sqrt{2}) - 4 = -2\sqrt{2} + 4 + 2\sqrt{2} - 4$

Сгруппируем и упростим:

$(-2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) + (4 - 4) = 0 + 0 = 0$

Получили $0 = 0$. Равенство верное, значит, число $-\sqrt{2}$ является корнем уравнения.

Ответ: да, является.