Номер 9.10, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

9.10. Вычислите:

1) $\sqrt{47 - 4\sqrt{33}} + \sqrt{47 + 4\sqrt{33}};$

2) $\sqrt{31 - 6\sqrt{26}} - \sqrt{31 + 6\sqrt{26}};$

3) $(\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{189} + \sqrt[3]{56}) : \sqrt[3]{7};$

4) $\sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7} \cdot \sqrt{3 + 2\sqrt{2}}.$

1) Обозначим искомое выражение через $x$: $x = \sqrt{47 - 4\sqrt{33}} + \sqrt{47 + 4\sqrt{33}}$.

Так как оба слагаемых положительны, то $x > 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$x^2 = (\sqrt{47 - 4\sqrt{33}})^2 + 2\sqrt{47 - 4\sqrt{33}}\sqrt{47 + 4\sqrt{33}} + (\sqrt{47 + 4\sqrt{33}})^2$

$x^2 = (47 - 4\sqrt{33}) + 2\sqrt{(47 - 4\sqrt{33})(47 + 4\sqrt{33})} + (47 + 4\sqrt{33})$

Упростим выражение, сократив $-4\sqrt{33}$ и $4\sqrt{33}$. Для выражения под корнем применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$x^2 = 47 + 47 + 2\sqrt{47^2 - (4\sqrt{33})^2}$

$x^2 = 94 + 2\sqrt{2209 - 16 \cdot 33}$

$x^2 = 94 + 2\sqrt{2209 - 528}$

$x^2 = 94 + 2\sqrt{1681}$

Так как $41^2 = 1681$, то $\sqrt{1681} = 41$.

$x^2 = 94 + 2 \cdot 41$

$x^2 = 94 + 82$

$x^2 = 176$

Поскольку $x > 0$, извлекаем положительный корень: $x = \sqrt{176} = \sqrt{16 \cdot 11} = 4\sqrt{11}$.

Ответ: $4\sqrt{11}$.

2) Обозначим искомое выражение через $x$: $x = \sqrt{31 - 6\sqrt{26}} - \sqrt{31 + 6\sqrt{26}}$.

Так как $31 - 6\sqrt{26} < 31 + 6\sqrt{26}$, то $\sqrt{31 - 6\sqrt{26}} < \sqrt{31 + 6\sqrt{26}}$, следовательно, $x < 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 = (\sqrt{31 - 6\sqrt{26}})^2 - 2\sqrt{31 - 6\sqrt{26}}\sqrt{31 + 6\sqrt{26}} + (\sqrt{31 + 6\sqrt{26}})^2$

$x^2 = (31 - 6\sqrt{26}) - 2\sqrt{(31 - 6\sqrt{26})(31 + 6\sqrt{26})} + (31 + 6\sqrt{26})$

Упростим выражение, сократив $-6\sqrt{26}$ и $6\sqrt{26}$ и применив формулу разности квадратов:

$x^2 = 31 + 31 - 2\sqrt{31^2 - (6\sqrt{26})^2}$

$x^2 = 62 - 2\sqrt{961 - 36 \cdot 26}$

$x^2 = 62 - 2\sqrt{961 - 936}$

$x^2 = 62 - 2\sqrt{25}$

$x^2 = 62 - 2 \cdot 5$

$x^2 = 62 - 10$

$x^2 = 52$

Поскольку $x < 0$, извлекаем отрицательный корень: $x = -\sqrt{52} = -\sqrt{4 \cdot 13} = -2\sqrt{13}$.

Ответ: $-2\sqrt{13}$.

3) Для решения разделим каждый член в скобках на $\sqrt[3]{7}$:

$(\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{189} + \sqrt[3]{56}) : \sqrt[3]{7} = \frac{\sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{7}} - \frac{\sqrt[3]{189}}{\sqrt[3]{7}} + \frac{\sqrt[3]{56}}{\sqrt[3]{7}}$

Используем свойство частного корней $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

$= \sqrt[3]{\frac{7}{7}} - \sqrt[3]{\frac{189}{7}} + \sqrt[3]{\frac{56}{7}}$

Выполним деление под знаками корней:

$= \sqrt[3]{1} - \sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{8}$

Извлечем кубические корни:

$= 1 - 3 + 2 = 0$

Ответ: $0$.

4) Рассмотрим каждый множитель отдельно.

Первый множитель: $\sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7}$. Заметим, что подкоренное выражение можно представить в виде куба разности. Проверим гипотезу, что $5\sqrt{2} - 7 = (\sqrt{2}-1)^3$:

$(\sqrt{2}-1)^3 = (\sqrt{2})^3 - 3(\sqrt{2})^2 \cdot 1 + 3\sqrt{2} \cdot 1^2 - 1^3 = 2\sqrt{2} - 6 + 3\sqrt{2} - 1 = 5\sqrt{2} - 7$.

Следовательно, $\sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7} = \sqrt[3]{(\sqrt{2}-1)^3} = \sqrt{2}-1$.

Второй множитель: $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$. Заметим, что подкоренное выражение является полным квадратом:

$3 + 2\sqrt{2} = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (1+\sqrt{2})^2$.

Следовательно, $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(1+\sqrt{2})^2} = 1+\sqrt{2}$.

Теперь перемножим полученные упрощенные выражения, используя формулу разности квадратов:

$(\sqrt{2}-1)(1+\sqrt{2}) = (\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$.

Ответ: $1$.