Номер 9.5, страница 78 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Выполните действия (9.5–9.6):

9.5. 1) $\frac{\sqrt[4]{2}\cdot\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{486}} + \sqrt[3]{27\cdot 2^6}$;

2) $\sqrt[3]{216\cdot 7^3} - \sqrt[5]{\frac{32}{243}};

3) $\sqrt[3]{27\cdot 4^3} - \sqrt{\frac{81}{256}};

4) $5 - \left(3\cdot \sqrt[4]{\frac{16}{81}} + \sqrt[3]{0,125}\right)$.

1)

Вычислим значение выражения $\frac{\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{486}} + \sqrt[3]{27 \cdot 2^6}$.

Упростим первое слагаемое. Используя свойство корня из произведения ($\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$), объединим корни в числителе: $\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{3} = \sqrt[4]{2 \cdot 3} = \sqrt[4]{6}$.

Теперь вся дробь имеет вид $\frac{\sqrt[4]{6}}{\sqrt[4]{486}}$. По свойству корня из частного ($\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$), получим $\sqrt[4]{\frac{6}{486}}$.

Сократим подкоренное выражение: $\frac{6}{486} = \frac{1}{81}$.

Таким образом, первое слагаемое равно $\sqrt[4]{\frac{1}{81}} = \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{1}{3}$, так как $3^4 = 81$.

Теперь упростим второе слагаемое $\sqrt[3]{27 \cdot 2^6}$. Используя свойство корня из произведения, имеем $\sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{2^6}$.

Вычислим каждый множитель: $\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$ и $\sqrt[3]{2^6} = 2^{\frac{6}{3}} = 2^2 = 4$.

Второе слагаемое равно $3 \cdot 4 = 12$.

Сложим полученные значения: $\frac{1}{3} + 12 = 12\frac{1}{3}$.

Ответ: $12\frac{1}{3}$.

2)

Вычислим значение выражения $\sqrt[3]{216 \cdot 7^3} - \sqrt[5]{\frac{32}{243}}$.

Рассмотрим уменьшаемое $\sqrt[3]{216 \cdot 7^3}$. По свойству корня из произведения: $\sqrt[3]{216 \cdot 7^3} = \sqrt[3]{216} \cdot \sqrt[3]{7^3}$.

Так как $216=6^3$, то $\sqrt[3]{216}=6$. Также $\sqrt[3]{7^3}=7$.

Следовательно, уменьшаемое равно $6 \cdot 7 = 42$.

Теперь рассмотрим вычитаемое $\sqrt[5]{\frac{32}{243}}$. По свойству корня из частного: $\sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{\sqrt[5]{32}}{\sqrt[5]{243}}$.

Так как $32 = 2^5$ и $243 = 3^5$, то вычитаемое равно $\frac{\sqrt[5]{2^5}}{\sqrt[5]{3^5}} = \frac{2}{3}$.

Выполним вычитание: $42 - \frac{2}{3} = 41 + 1 - \frac{2}{3} = 41 + \frac{1}{3} = 41\frac{1}{3}$.

Ответ: $41\frac{1}{3}$.

3)

Вычислим значение выражения $\sqrt[3]{27 \cdot 4^3} - \sqrt[4]{\frac{81}{256}}$.

Упростим уменьшаемое $\sqrt[3]{27 \cdot 4^3}$. Используя свойство корня из произведения, получаем $\sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{4^3}$.

Так как $27=3^3$, то $\sqrt[3]{27}=3$. Корень $\sqrt[3]{4^3}=4$.

Таким образом, уменьшаемое равно $3 \cdot 4 = 12$.

Теперь упростим вычитаемое $\sqrt[4]{\frac{81}{256}}$. По свойству корня из частного: $\sqrt[4]{\frac{81}{256}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{256}}$.

Так как $81=3^4$ и $256=4^4$, то вычитаемое равно $\frac{\sqrt[4]{3^4}}{\sqrt[4]{4^4}} = \frac{3}{4}$.

Выполним вычитание: $12 - \frac{3}{4} = 11 + 1 - \frac{3}{4} = 11 + \frac{1}{4} = 11\frac{1}{4}$.

Ответ: $11\frac{1}{4}$.

4)

Вычислим значение выражения $5 - \left( 3 \cdot \sqrt[4]{\frac{16}{81}} + \sqrt[3]{0,125} \right)$.

Сначала выполним действия в скобках. Рассмотрим первое слагаемое в скобках: $3 \cdot \sqrt[4]{\frac{16}{81}}$.

Вычислим корень: $\sqrt[4]{\frac{16}{81}} = \frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{\sqrt[4]{2^4}}{\sqrt[4]{3^4}} = \frac{2}{3}$.

Тогда первое слагаемое равно $3 \cdot \frac{2}{3} = 2$.

Теперь найдем значение второго слагаемого в скобках: $\sqrt[3]{0,125}$.

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.

Тогда $\sqrt[3]{0,125} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Сумма в скобках равна $2 + 0,5 = 2,5$.

Наконец, выполним вычитание: $5 - 2,5 = 2,5$.

Ответ: $2,5$.