Номер 9.4, страница 77 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

9.4. Упростите:

1) $\sqrt[3]{\sqrt{3}}$ ;

2) $\sqrt[3]{\sqrt[3]{4}}$ ;

3) $\sqrt[3]{\sqrt[3]{7}}$ ;

4) $\sqrt[5]{\sqrt[3]{11}}$ ;

5) $\sqrt{a\sqrt{a}}$ ;

6) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{a^5}}$ ;

7) $\sqrt[5]{\sqrt[3]{mn}}$ ;

8) $\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a}{b}}}$ .

1) Для упрощения выражения $\sqrt{\sqrt{3}}$ воспользуемся свойством корней $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$. В данном случае, оба корня квадратные, то есть их показатели равны 2.

$\sqrt{\sqrt{3}} = \sqrt[2]{\sqrt[2]{3}} = \sqrt[2 \cdot 2]{3} = \sqrt[4]{3}$.

Ответ: $\sqrt[4]{3}$.

2) Для упрощения выражения $\sqrt{\sqrt[3]{4}}$ применим свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$. Здесь показатель внешнего корня равен 2, а внутреннего — 3.

$\sqrt{\sqrt[3]{4}} = \sqrt[2 \cdot 3]{4} = \sqrt[6]{4}$.

Заметим, что подкоренное выражение можно упростить, так как $4 = 2^2$.

$\sqrt[6]{4} = \sqrt[6]{2^2} = 2^\frac{2}{6} = 2^\frac{1}{3} = \sqrt[3]{2}$.

Ответ: $\sqrt[3]{2}$.

3) Упростим выражение $\sqrt[3]{\sqrt{7}}$, используя свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$. Показатель внешнего корня — 3, внутреннего — 2.

$\sqrt[3]{\sqrt{7}} = \sqrt[3 \cdot 2]{7} = \sqrt[6]{7}$.

Ответ: $\sqrt[6]{7}$.

4) Для упрощения выражения $\sqrt[5]{\sqrt[3]{11}}$ применим то же свойство корней.

$\sqrt[5]{\sqrt[3]{11}} = \sqrt[5 \cdot 3]{11} = \sqrt[15]{11}$.

Ответ: $\sqrt[15]{11}$.

5) Чтобы упростить выражение $\sqrt{a\sqrt{a}}$, сначала внесем множитель $a$ под внутренний корень. При внесении под квадратный корень множитель возводится в квадрат (при условии $a \ge 0$).

$\sqrt{a\sqrt{a}} = \sqrt{\sqrt{a^2 \cdot a}} = \sqrt{\sqrt{a^3}}$.

Теперь применим свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[mn]{x}$:

$\sqrt{\sqrt{a^3}} = \sqrt[2 \cdot 2]{a^3} = \sqrt[4]{a^3}$.

Ответ: $\sqrt[4]{a^3}$.

6) Упростим выражение $\sqrt[4]{\sqrt[3]{a^5}}$ по свойству $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[mn]{x}$.

$\sqrt[4]{\sqrt[3]{a^5}} = \sqrt[4 \cdot 3]{a^5} = \sqrt[12]{a^5}$.

Ответ: $\sqrt[12]{a^5}$.

7) Упростим выражение $\sqrt[5]{\sqrt[3]{mn}}$, используя свойство вложенных корней.

$\sqrt[5]{\sqrt[3]{mn}} = \sqrt[5 \cdot 3]{mn} = \sqrt[15]{mn}$.

Ответ: $\sqrt[15]{mn}$.

8) Для упрощения выражения $\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a}{b}}}$ применим свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[mn]{x}$.

$\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a}{b}}} = \sqrt[3 \cdot 2]{\frac{a}{b}} = \sqrt[6]{\frac{a}{b}}$.

Ответ: $\sqrt[6]{\frac{a}{b}}$.