Вопросы, страница 77 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Какие значения могут принимать подкоренные выражения? Приведите примеры.

2. Всегда ли можно извлечь корень $n$-й степени из любого действительного числа? Ответ обоснуйте.

1. Какие значения могут принимать подкоренные выражения? Приведите примеры.

Значения, которые может принимать подкоренное выражение (или радикал), зависят от показателя корня $n$.

Если показатель корня — четное число (например, $n=2, 4, 6, \dots$), то подкоренное выражение должно быть неотрицательным. То есть, для корня $\sqrt[n]{a}$, где $n$ — четное, должно выполняться условие $a \ge 0$. Это связано с тем, что любое действительное число, возведенное в четную степень, дает неотрицательный результат.

Примеры: В выражении $\sqrt{16}$ подкоренное выражение равно $16$ ($16 > 0$). В выражении $\sqrt[4]{81}$ подкоренное выражение равно $81$ ($81 > 0$). Выражение $\sqrt{-4}$ не имеет смысла в множестве действительных чисел, так как его подкоренное выражение отрицательно.

Если показатель корня — нечетное число (например, $n=3, 5, 7, \dots$), то подкоренное выражение может быть любым действительным числом: положительным, отрицательным или равным нулю.

Примеры: В выражении $\sqrt[3]{-8}$ подкоренное выражение равно $-8$. Это допустимо, так как $(-2)^3 = -8$. В выражении $\sqrt[5]{32}$ подкоренное выражение равно $32$.

Ответ: Если показатель корня четный, подкоренное выражение может быть любым неотрицательным числом ($a \ge 0$). Если показатель корня нечетный, подкоренное выражение может быть любым действительным числом.

2. Всегда ли можно извлечь корень n-й степени из любого действительного числа? Ответ обоснуйте.

Нет, не всегда. Возможность извлечения корня $n$-й степени из действительного числа зависит от четности показателя $n$.

1. Если $n$ — четное натуральное число ($n=2k$, где $k \in N$).

Корень $n$-й степени можно извлечь только из неотрицательного действительного числа. Это следует из определения арифметического корня. По определению, $\sqrt[2k]{a} = x$ означает, что $x^{2k} = a$ и $x \ge 0$. Поскольку любое действительное число $x$ в четной степени $2k$ дает неотрицательный результат ($x^{2k} \ge 0$), то и подкоренное выражение $a$ не может быть отрицательным.

Пример: Нельзя извлечь корень четвертой степени из числа $-16$ в множестве действительных чисел, так как не существует такого действительного числа $x$, для которого $x^4 = -16$.

2. Если $n$ — нечетное натуральное число, большее единицы ($n=2k+1$, где $k \in N$).

Корень $n$-й степени можно извлечь из любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля). Для любого действительного числа $a$ уравнение $x^n = a$ при нечетном $n$ имеет единственный действительный корень.

Пример: Можно извлечь корень третьей степени из $-27$, так как существует число $-3$, такое что $(-3)^3 = -27$. Таким образом, $\sqrt[3]{-27} = -3$.

Ответ: Нет, не всегда. Корень четной степени можно извлечь только из неотрицательного числа. Корень нечетной степени можно извлечь из любого действительного числа.