Номер 6, страница 72 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

6. По вариационному ряду относительных частот:

Интервалы [10; 20) [20; 30) [30; 40) [40; 50)

$x_i^*$ 15 25 35 45

$n_i$ 5 9 8 3

$\frac{n_i}{n}$ 0,2 0,36 0,32 0,12

Найдите среднее значение и дисперсию:

А) $\bar{X} = 28,2; \bar{D} = 87,4;$ В) $\bar{X} = 28,6; \bar{D} = 87,04;$

С) $\bar{X} = 26,6; \bar{D} = 85,4;$ D) $\bar{X} = 27,4; \bar{D} = 87,24;$

Е) $\bar{X} = 28,6; \bar{D} = 85,24.$

Среднее значение

Для нахождения выборочного среднего значения ($\bar{X}$) интервального вариационного ряда используется формула взвешенного среднего, где в качестве вариант ($x_i^*$) берутся середины интервалов, а в качестве весов — относительные частоты ($\frac{n_i}{n}$):

$\bar{X} = \sum_{i=1}^{k} x_i^* \cdot \frac{n_i}{n}$

Подставим данные из таблицы:

$x_1^* = 15; \frac{n_1}{n} = 0,2$

$x_2^* = 25; \frac{n_2}{n} = 0,36$

$x_3^* = 35; \frac{n_3}{n} = 0,32$

$x_4^* = 45; \frac{n_4}{n} = 0,12$

Выполним вычисление:

$\bar{X} = (15 \cdot 0,2) + (25 \cdot 0,36) + (35 \cdot 0,32) + (45 \cdot 0,12) = 3 + 9 + 11,2 + 5,4 = 28,6$.

Ответ: Среднее значение $\bar{X} = 28,6$.

Дисперсия

Для нахождения выборочной дисперсии ($\bar{D}$) воспользуемся формулой, связывающей дисперсию со средним квадратом и квадратом среднего:

$\bar{D} = \overline{X^2} - (\bar{X})^2$

Сначала найдем среднее значение квадратов вариант ($\overline{X^2}$):

$\overline{X^2} = \sum_{i=1}^{k} (x_i^*)^2 \cdot \frac{n_i}{n}$

$\overline{X^2} = (15^2 \cdot 0,2) + (25^2 \cdot 0,36) + (35^2 \cdot 0,32) + (45^2 \cdot 0,12)$

$\overline{X^2} = (225 \cdot 0,2) + (625 \cdot 0,36) + (1225 \cdot 0,32) + (2025 \cdot 0,12)$

$\overline{X^2} = 45 + 225 + 392 + 243 = 905$.

Теперь, зная $\overline{X^2}=905$ и $\bar{X}=28,6$, вычисляем дисперсию:

$\bar{D} = 905 - (28,6)^2 = 905 - 817,96 = 87,04$.

Ответ: Дисперсия $\bar{D} = 87,04$.

Итак, мы получили среднее значение $\bar{X} = 28,6$ и дисперсию $\bar{D} = 87,04$. Эти значения полностью совпадают с вариантом B).