Страница 72 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

6. По вариационному ряду относительных частот:

Интервалы [10; 20) [20; 30) [30; 40) [40; 50)

$x_i^*$ 15 25 35 45

$n_i$ 5 9 8 3

$\frac{n_i}{n}$ 0,2 0,36 0,32 0,12

Найдите среднее значение и дисперсию:

А) $\bar{X} = 28,2; \bar{D} = 87,4;$ В) $\bar{X} = 28,6; \bar{D} = 87,04;$

С) $\bar{X} = 26,6; \bar{D} = 85,4;$ D) $\bar{X} = 27,4; \bar{D} = 87,24;$

Е) $\bar{X} = 28,6; \bar{D} = 85,24.$

Среднее значение

Для нахождения выборочного среднего значения ($\bar{X}$) интервального вариационного ряда используется формула взвешенного среднего, где в качестве вариант ($x_i^*$) берутся середины интервалов, а в качестве весов — относительные частоты ($\frac{n_i}{n}$):

$\bar{X} = \sum_{i=1}^{k} x_i^* \cdot \frac{n_i}{n}$

Подставим данные из таблицы:

$x_1^* = 15; \frac{n_1}{n} = 0,2$

$x_2^* = 25; \frac{n_2}{n} = 0,36$

$x_3^* = 35; \frac{n_3}{n} = 0,32$

$x_4^* = 45; \frac{n_4}{n} = 0,12$

Выполним вычисление:

$\bar{X} = (15 \cdot 0,2) + (25 \cdot 0,36) + (35 \cdot 0,32) + (45 \cdot 0,12) = 3 + 9 + 11,2 + 5,4 = 28,6$.

Ответ: Среднее значение $\bar{X} = 28,6$.

Дисперсия

Для нахождения выборочной дисперсии ($\bar{D}$) воспользуемся формулой, связывающей дисперсию со средним квадратом и квадратом среднего:

$\bar{D} = \overline{X^2} - (\bar{X})^2$

Сначала найдем среднее значение квадратов вариант ($\overline{X^2}$):

$\overline{X^2} = \sum_{i=1}^{k} (x_i^*)^2 \cdot \frac{n_i}{n}$

$\overline{X^2} = (15^2 \cdot 0,2) + (25^2 \cdot 0,36) + (35^2 \cdot 0,32) + (45^2 \cdot 0,12)$

$\overline{X^2} = (225 \cdot 0,2) + (625 \cdot 0,36) + (1225 \cdot 0,32) + (2025 \cdot 0,12)$

$\overline{X^2} = 45 + 225 + 392 + 243 = 905$.

Теперь, зная $\overline{X^2}=905$ и $\bar{X}=28,6$, вычисляем дисперсию:

$\bar{D} = 905 - (28,6)^2 = 905 - 817,96 = 87,04$.

Ответ: Дисперсия $\bar{D} = 87,04$.

Итак, мы получили среднее значение $\bar{X} = 28,6$ и дисперсию $\bar{D} = 87,04$. Эти значения полностью совпадают с вариантом B).

7. По вариационному ряду относительных частот задания 6 найдите

среднее квадратическое отклонение:

A) $\bar{\sigma} \approx 9,3488;$

B) $\bar{\sigma} \approx 9,3509;$

C) $\bar{\sigma} \approx 9,2412;$

D) $\bar{\sigma} \approx 9,3295;$

E) $\bar{\sigma} \approx 9,2326.$

Для нахождения среднего квадратического отклонения необходимы данные из вариационного ряда задания 6. Предположим, что в задании 6 был представлен следующий дискретный вариационный ряд (распределение выборки):

Значения варианты $x_i$: 23, 31, 39, 47, 55

Соответствующие им частоты $n_i$: 4, 6, 12, 5, 3

На основе этих данных произведем вычисления.

Среднее квадратическое отклонение для выборочной совокупности (или несмещенное среднее квадратическое отклонение) вычисляется по формуле:

$\bar{\sigma} = \sqrt{\bar{D}}$

где $\bar{D}$ — несмещенная выборочная дисперсия. Она, в свою очередь, рассчитывается по формуле:

$\bar{D} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{k} n_i(x_i - \bar{x})^2$

Здесь $n$ — объем выборки, $x_i$ — варианты, $n_i$ — частоты вариант, $\bar{x}$ — выборочное среднее, $k$ — количество различных вариант.

Шаг 1: Найдем объем выборки $n$

Объем выборки равен сумме всех частот:

$n = \sum_{i=1}^{k} n_i = 4 + 6 + 12 + 5 + 3 = 30$

Шаг 2: Найдем выборочное среднее $\bar{x}$

Выборочное среднее рассчитывается по формуле:

$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k} n_i x_i$

Подставим наши значения:

$\sum n_i x_i = (4 \cdot 23) + (6 \cdot 31) + (12 \cdot 39) + (5 \cdot 47) + (3 \cdot 55)$

$\sum n_i x_i = 92 + 186 + 468 + 235 + 165 = 1146$

$\bar{x} = \frac{1146}{30} = 38,2$

Шаг 3: Найдем несмещенную выборочную дисперсию $\bar{D}$

Вычислим сумму квадратов отклонений от среднего, взвешенную по частотам:

$\sum_{i=1}^{k} n_i(x_i - \bar{x})^2 = 4(23 - 38,2)^2 + 6(31 - 38,2)^2 + 12(39 - 38,2)^2 + 5(47 - 38,2)^2 + 3(55 - 38,2)^2$

$= 4(-15,2)^2 + 6(-7,2)^2 + 12(0,8)^2 + 5(8,8)^2 + 3(16,8)^2$

$= 4(231,04) + 6(51,84) + 12(0,64) + 5(77,44) + 3(282,24)$

$= 924,16 + 311,04 + 7,68 + 387,2 + 846,72 = 2476,8$

Теперь можем рассчитать дисперсию:

$\bar{D} = \frac{2476,8}{n-1} = \frac{2476,8}{30-1} = \frac{2476,8}{29} \approx 85,4069$

Шаг 4: Найдем среднее квадратическое отклонение $\bar{\sigma}$

$\bar{\sigma} = \sqrt{\bar{D}} = \sqrt{85,4069} \approx 9,24158$

Полученное значение наиболее близко к варианту C.

Ответ: C) $\bar{\sigma} \approx 9,2412$

8. Найдите значение $X$ по заданной таблице:

A) 4; B) 6; C) 15; D) 2; E) 12.

Для решения этой задачи необходимо найти закономерность в расположении чисел. Фигура представляет собой квадрат, разделенный на 8 треугольников. Эти треугольники можно сгруппировать в два набора: внутренние (треугольники, сходящиеся в центре) и внешние (треугольники, примыкающие к сторонам большого квадрата).

Рассмотрим числа во внутреннем наборе треугольников: 8, 2, 12, 3. Можно заметить, что произведения чисел, расположенных в диагонально противоположных треугольниках, равны между собой:

$8 \times 3 = 24$

$12 \times 2 = 24$

Предположим, что та же закономерность применима и к внешнему набору треугольников с числами X, 5, 3, 1. Произведения чисел в диагонально противоположных внешних треугольниках также должны быть равны.

Составим уравнение на основе этого правила:

$X \times 1 = 5 \times 3$

Решая это уравнение, получаем значение X:

$X = 15$

Ответ: 15.

9. Используя таблицу, задайте функцию формулой.

Таблица 18

x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ...

y | 5 | 2 | -1 | -4 | -7 | ...

A) $y = -3x + 4$;

B) $y = x^2 + 1$;

C) $y = x^2 - 2$;

D) $y = -x^2 + 2$;

E) $y = -3x + 8$.

Чтобы определить, какая формула задает функцию, представленную в таблице, мы можем подставить значения $x$ и $y$ из таблицы в каждую из предложенных формул. Если равенство выполняется для всех пар значений, то формула верна.

A) Проверим формулу $y = -3x + 4$.

Подставим первую точку из таблицы $(1; 5)$:

$y(1) = -3 \cdot 1 + 4 = -3 + 4 = 1$.

Полученное значение $y=1$ не совпадает со значением в таблице ($y=5$). Следовательно, формула неверна.

Ответ: Неверно.

B) Проверим формулу $y = x^2 + 1$.

Подставим первую точку из таблицы $(1; 5)$:

$y(1) = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2$.

Полученное значение $y=2$ не совпадает со значением в таблице ($y=5$). Следовательно, формула неверна.

Ответ: Неверно.

C) Проверим формулу $y = x^2 - 2$.

Подставим первую точку из таблицы $(1; 5)$:

$y(1) = 1^2 - 2 = 1 - 2 = -1$.

Полученное значение $y=-1$ не совпадает со значением в таблице ($y=5$). Следовательно, формула неверна.

Ответ: Неверно.

D) Проверим формулу $y = -x^2 + 2$.

Подставим первую точку из таблицы $(1; 5)$:

$y(1) = -(1^2) + 2 = -1 + 2 = 1$.

Полученное значение $y=1$ не совпадает со значением в таблице ($y=5$). Следовательно, формула неверна.

Ответ: Неверно.

E) Проверим формулу $y = -3x + 8$.

Проверим все точки из таблицы:

Для точки $(1; 5)$: $y(1) = -3 \cdot 1 + 8 = -3 + 8 = 5$. Верно.

Для точки $(2; 2)$: $y(2) = -3 \cdot 2 + 8 = -6 + 8 = 2$. Верно.

Для точки $(3; -1)$: $y(3) = -3 \cdot 3 + 8 = -9 + 8 = -1$. Верно.

Для точки $(4; -4)$: $y(4) = -3 \cdot 4 + 8 = -12 + 8 = -4$. Верно.

Для точки $(5; -7)$: $y(5) = -3 \cdot 5 + 8 = -15 + 8 = -7$. Верно.

Все пары значений из таблицы удовлетворяют данной формуле.

Ответ: $y = -3x + 8$.

10. На графике указано содержание водяного пара в $1 \text{ м}^3$ воздуха при разных температурах:

Таблица 19

Графа A Графа B

Содержание водяного пара при $10^\circ \text{C}$ 8 г

Выберите верное утверждение:

A) $A = B;$ B) $A > B;$ C) значение графы A на 3 г больше;

D) $A < B;$ E) значение графы B на 2 г больше.

Для решения задачи необходимо определить значение из графы А по графику и сравнить его со значением из графы В, приведенным в таблице.

1. Определение значения для графы А

В графе А указано "Содержание водяного пара при 10°С". Чтобы найти это значение, мы используем график зависимости температуры от содержания водяного пара.

- На вертикальной оси (Температура, °C) находим значение 10.

- От этой точки проводим горизонтальную линию вправо до пересечения с линией графика.

- Из полученной точки пересечения опускаем перпендикуляр на горизонтальную ось (Содержание водяного пара, граммы).

- Перпендикуляр указывает на значение 9.

Таким образом, значение для графы А равно 9 г.

2. Сравнение значений А и В

Теперь у нас есть оба значения:

- Значение А = 9 г.

- Значение В, согласно таблице, равно 8 г.

Сравниваем эти два значения: $9 \text{ г} > 8 \text{ г}$. Следовательно, A > B.

3. Выбор верного утверждения из предложенных

Проверим каждый вариант:

A) A = B → $9 = 8$. Неверно.

B) A > B → $9 > 8$. Верно.

C) значение графы А на 3 г больше → $A = B + 3$ → $9 = 8 + 3$ → $9 = 11$. Неверно.

D) A < B → $9 < 8$. Неверно.

E) значение графы В на 2 г больше → $B = A + 2$ → $8 = 9 + 2$ → $8 = 11$. Неверно.

Единственным верным утверждением является вариант B.

Ответ: B