Страница 69 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

8.8. Одним из основателей современной математической статистики является английский математик Карл Пирсон (1857—1936). С его именем связано развитие числовых оценок корреляции (зависимости) между различными статистическими данными. Разнообразны разделы математической статистики; среди них можно выделить описательную статистику, теорию оценивания, теорию проверки гипотез, последовательный статистический анализ.

Карл Пирсон
(1857—1936)

Текст на изображении представляет Карла Пирсона как одного из основоположников современной математической статистики и перечисляет некоторые ее ключевые разделы. Разберем эти понятия подробнее.

Карл Пирсон и его вклад в статистику

Карл Пирсон (1857–1936) — выдающийся английский математик, биометр и философ науки, который внес фундаментальный вклад в развитие математической статистики. Его работы заложили основу для количественного анализа данных во многих научных дисциплинах. Основной вклад Пирсона, упомянутый в тексте, связан с разработкой численных оценок корреляции. Корреляция — это статистическая мера, которая показывает степень линейной зависимости между двумя случайными величинами. Если значение одной величины растет и вместе с ним, в среднем, растет и значение другой, говорят о положительной корреляции. Если же с ростом одной величины другая уменьшается, корреляция отрицательная. Если изменения величин не связаны, корреляция близка к нулю. Самым известным показателем является коэффициент корреляции Пирсона, обозначаемый как $r$ для выборки. Он принимает значения от -1 до +1. Значение +1 означает идеальную положительную линейную связь, -1 — идеальную отрицательную, а 0 — отсутствие линейной связи. Формула для выборочного коэффициента корреляции Пирсона: $r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}$, где $x_i$ и $y_i$ — значения двух переменных для $i$-го наблюдения, а $\bar{x}$ и $\bar{y}$ — их средние значения. Кроме того, Пирсон разработал критерий хи-квадрат ($\chi^2$), который используется для проверки гипотез о соответствии наблюдаемых данных ожидаемым, и внес вклад в теорию регрессионного анализа.

Ответ: Карл Пирсон — основатель математической статистики, известный разработкой методов измерения корреляции, в частности, коэффициента корреляции Пирсона ($r$), и критерия хи-квадрат ($\chi^2$), что позволило количественно оценивать взаимосвязи между статистическими данными.

Описательная статистика

Описательная (дескриптивная) статистика — это раздел статистики, который занимается сбором, систематизацией, обобщением и представлением данных. Её главная цель — описать основные характеристики выборки в удобной и понятной форме, не делая выводов о более широкой генеральной совокупности. Для этого используются различные численные показатели и графические методы. Основные численные показатели включают: меры центральной тенденции, такие как среднее арифметическое (сумма всех значений, деленная на их количество), медиана (значение, которое делит упорядоченный ряд данных пополам) и мода (наиболее часто встречающееся значение); а также меры изменчивости (разброса), такие как дисперсия (средний квадрат отклонений от среднего), стандартное отклонение (квадратный корень из дисперсии) и размах (разница между максимальным и минимальным значениями). Графические методы включают гистограммы, полигоны частот, диаграммы рассеяния и ящичные диаграммы (box plot), которые наглядно показывают распределение данных, наличие выбросов и другие особенности.

Ответ: Описательная статистика — это раздел, который позволяет обобщить и описать данные с помощью числовых характеристик (среднее, медиана, стандартное отклонение) и графиков (гистограммы, диаграммы), чтобы выявить их ключевые особенности.

Теория оценивания

Теория оценивания — это раздел математической статистики, который позволяет делать выводы о параметрах всей генеральной совокупности (например, о среднем росте всех жителей страны) на основе данных, полученных из выборки (например, измерения роста 1000 человек). Поскольку исследовать всю совокупность часто невозможно или нецелесообразно, статистики используют выборочные данные для получения оценок неизвестных параметров. Существует два основных типа оценок: 1) Точечная оценка: это одно число, которое является наилучшим предположением о значении параметра. Например, выборочное среднее $\bar{x}$ является точечной оценкой среднего генеральной совокупности $\mu$. 2) Интервальная оценка: это диапазон значений, который с определённой долей уверенности (доверительной вероятностью) содержит истинное значение параметра. Такой диапазон называется доверительным интервалом. Например, можно с 95% уверенностью утверждать, что средний рост всех жителей страны находится в интервале от 175 см до 177 см. Качество оценок определяется их свойствами, такими как несмещённость, состоятельность и эффективность.

Ответ: Теория оценивания — это методы получения приближенных значений (оценок) неизвестных параметров генеральной совокупности на основе выборочных данных. Оценки могут быть точечными (одно число) или интервальными (доверительный интервал).

Теория проверки гипотез

Теория проверки статистических гипотез — это формальный метод принятия решений, основанный на анализе данных. Она позволяет определить, являются ли наблюдаемые в выборке эффекты или различия статистически значимыми или же они могли возникнуть случайно. Процесс проверки гипотез обычно включает следующие шаги: 1) Формулирование нулевой гипотезы ($H_0$) и альтернативной гипотезы ($H_1$). Нулевая гипотеза обычно утверждает отсутствие эффекта (например, "новое лекарство не эффективнее старого"). 2) Выбор уровня значимости $\alpha$ — это пороговая вероятность совершить ошибку первого рода (отклонить верную нулевую гипотезу). 3) Расчет тестовой статистики на основе выборочных данных. 4) Принятие решения: если вероятность получить наблюдаемые данные при условии, что $H_0$ верна (это называется p-value), меньше $\alpha$, то нулевая гипотеза отклоняется. В противном случае, оснований для отклонения $H_0$ нет. Например, можно проверить гипотезу о том, что средний IQ студентов равен 100 ($H_0: \mu = 100$).

Ответ: Теория проверки гипотез — это набор формальных процедур для принятия решений о том, подтверждаются ли предположения (гипотезы) о генеральной совокупности данными из выборки, с использованием понятий нулевой гипотезы, уровня значимости и p-value.

Последовательный статистический анализ

Последовательный статистический анализ — это метод статистического вывода, в котором размер выборки не является фиксированным. Вместо этого данные анализируются по мере их поступления, и на каждом этапе принимается одно из трех решений: 1) принять нулевую гипотезу, 2) отклонить нулевую гипотезу, или 3) продолжить сбор данных, так как имеющейся информации пока недостаточно. Этот подход был в значительной степени разработан Абрахамом Вальдом. Основное преимущество последовательного анализа заключается в том, что он часто позволяет достичь того же уровня точности выводов при меньшем среднем объеме выборки по сравнению с методами с фиксированным объемом. Это особенно ценно, когда сбор данных является дорогостоящим или трудоемким процессом, например, в медицинских испытаниях или при разрушающем контроле качества.

Ответ: Последовательный статистический анализ — это метод, при котором решение о принятии или отклонении гипотезы (или продолжении эксперимента) принимается после каждого нового наблюдения, что позволяет сократить среднее количество необходимых наблюдений.

8.9. Найдите значение выражения:

1) $ \frac{97^3 + 23^3}{120} + 97 \cdot 23 $;

2) $ \frac{83^3 + 27^3}{110} - 83 \cdot 27 $;

3) $ \frac{71^2 - 51^2}{122} + 21 $;

4) $ \frac{85^2 - 44^2}{41} + \frac{136^2 - 128^2}{264} $.

1) Для решения этого примера воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

В данном выражении $a = 97$ и $b = 23$. Сумма $a+b = 97 + 23 = 120$, что совпадает со знаменателем дроби.

Подставим значения в выражение:

$\frac{97^3 + 23^3}{120} + 97 \cdot 23 = \frac{(97+23)(97^2 - 97 \cdot 23 + 23^2)}{120} + 97 \cdot 23$

Так как $97+23=120$, мы можем сократить дробь:

$\frac{120 \cdot (97^2 - 97 \cdot 23 + 23^2)}{120} + 97 \cdot 23 = (97^2 - 97 \cdot 23 + 23^2) + 97 \cdot 23$

Сокращаем подобные слагаемые $-97 \cdot 23$ и $+97 \cdot 23$:

$97^2 + 23^2 = 9409 + 529 = 9938$

Ответ: 9938

2) Это выражение похоже на предыдущее. Снова используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Здесь $a = 83$ и $b = 27$. Сумма $a+b = 83 + 27 = 110$, что является знаменателем дроби.

$\frac{83^3 + 27^3}{110} - 83 \cdot 27 = \frac{(83+27)(83^2 - 83 \cdot 27 + 27^2)}{110} - 83 \cdot 27$

Сокращаем дробь, используя $83+27=110$:

$(83^2 - 83 \cdot 27 + 27^2) - 83 \cdot 27 = 83^2 - 2 \cdot 83 \cdot 27 + 27^2$

Полученное выражение является формулой квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

$(83-27)^2 = 56^2 = 3136$

Ответ: 3136

3) В числителе дроби находится разность квадратов. Воспользуемся формулой: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В нашем случае $a = 71$ и $b = 51$.

$\frac{71^2 - 51^2}{122} + 21 = \frac{(71-51)(71+51)}{122} + 21$

Вычислим значения в скобках: $71-51=20$ и $71+51=122$.

$\frac{20 \cdot 122}{122} + 21$

Сокращаем 122 в числителе и знаменателе:

$20 + 21 = 41$

Ответ: 41

4) Это выражение состоит из суммы двух дробей. Для каждой дроби применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Рассмотрим первую дробь: $\frac{85^2 - 44^2}{41}$.

$\frac{(85-44)(85+44)}{41} = \frac{41 \cdot 129}{41} = 129$

Рассмотрим вторую дробь: $\frac{136^2 - 128^2}{264}$.

$\frac{(136-128)(136+128)}{264} = \frac{8 \cdot 264}{264} = 8$

Теперь сложим результаты:

$129 + 8 = 137$

Ответ: 137

8.10. Брошены две игральные кости. Найдите относительную частоту того, что значение произведения выпавших очков равно: 1) 4; 2) 5.

При броске двух игральных костей общее число равновозможных исходов равно произведению числа граней на каждой кости. У каждой кости 6 граней (от 1 до 6), поэтому общее число исходов $n = 6 \times 6 = 36$.

Относительная частота события (в данном контексте — его классическая вероятность) вычисляется по формуле $P = \frac{m}{n}$, где $m$ — число исходов, благоприятствующих событию, а $n$ — общее число исходов.

1) Найдем относительную частоту того, что произведение выпавших очков равно 4.

Определим все комбинации очков на первой и второй кости, произведение которых равно 4. Это следующие пары:

(1, 4), (2, 2), (4, 1).

Таким образом, число благоприятствующих исходов $m_1 = 3$.

Относительная частота этого события равна:

$P_1 = \frac{m_1}{n} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{12}$.

2) Найдем относительную частоту того, что произведение выпавших очков равно 5.

Определим все комбинации очков на первой и второй кости, произведение которых равно 5. Поскольку 5 — простое число, его можно получить только как произведение 1 и 5. Это следующие пары:

(1, 5), (5, 1).

Таким образом, число благоприятствующих исходов $m_2 = 2$.

Относительная частота этого события равна:

$P_2 = \frac{m_2}{n} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.

Ответ: $\frac{1}{18}$.

8.11. Найдите корни уравнения:

1) $x+4\sqrt{x}=12;$

2) $x-13\sqrt{x}=-42;$

3) $x-2+3\sqrt{x-2}=28;$

4) $x-3=2\sqrt{x+4}+1.$

1) Дано уравнение $x + 4\sqrt{x} = 12$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется наличием квадратного корня: $x \ge 0$.

Для решения введем новую переменную. Пусть $t = \sqrt{x}$. Поскольку значение квадратного корня не может быть отрицательным, то $t \ge 0$. Из замены следует, что $x = t^2$.

Подставим $t$ в исходное уравнение:

$t^2 + 4t = 12$

Перенесем 12 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 + 4t - 12 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -12, а их сумма равна -4. Подбором находим корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -6$.

Теперь необходимо проверить эти корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 2$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Корень $t_2 = -6$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, следовательно, это посторонний корень.

Выполним обратную замену для подходящего корня $t = 2$:

$\sqrt{x} = 2$

Возведем обе части в квадрат, чтобы найти $x$:

$x = 4$

Полученный корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 \ge 0$).

Выполним проверку, подставив $x=4$ в исходное уравнение: $4 + 4\sqrt{4} = 4 + 4 \cdot 2 = 4 + 8 = 12$. Равенство $12=12$ верно.

Ответ: 4

2) Дано уравнение $x - 13\sqrt{x} = -42$.

Перенесем все члены в левую часть: $x - 13\sqrt{x} + 42 = 0$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$, при этом $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - 13t + 42 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 13, а их произведение равно 42. Легко подобрать корни $t_1 = 6$ и $t_2 = 7$.

Оба корня, $t_1 = 6$ и $t_2 = 7$, удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену для каждого из корней:

1. Для $t_1 = 6$: $\sqrt{x} = 6 \implies x_1 = 6^2 = 36$.

2. Для $t_2 = 7$: $\sqrt{x} = 7 \implies x_2 = 7^2 = 49$.

Оба найденных значения $x=36$ и $x=49$ удовлетворяют ОДЗ.

Проверка:

Для $x=36$: $36 - 13\sqrt{36} = 36 - 13 \cdot 6 = 36 - 78 = -42$. Верно.

Для $x=49$: $49 - 13\sqrt{49} = 49 - 13 \cdot 7 = 49 - 91 = -42$. Верно.

Ответ: 36; 49

3) Дано уравнение $x - 2 + 3\sqrt{x-2} = 28$.

Перенесем 28 в левую часть: $(x - 2) + 3\sqrt{x-2} - 28 = 0$.

ОДЗ определяется подкоренным выражением: $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x-2}$, при этом $t \ge 0$. Тогда $x-2 = t^2$.

Подставив $t$ в уравнение, получаем:

$t^2 + 3t - 28 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение -28. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -7$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 4$ удовлетворяет условию.

Корень $t_2 = -7$ не удовлетворяет условию, значит, он посторонний.

Выполним обратную замену для $t = 4$:

$\sqrt{x-2} = 4$

Возведем обе части в квадрат:

$x-2 = 16$

$x = 18$

Полученный корень $x=18$ удовлетворяет ОДЗ ($18 \ge 2$).

Проверка: $18 - 2 + 3\sqrt{18 - 2} = 16 + 3\sqrt{16} = 16 + 3 \cdot 4 = 16 + 12 = 28$. Равенство $28=28$ верно.

Ответ: 18

4) Дано уравнение $x - 3 = 2\sqrt{x+4} + 1$.

Уединим радикал. Перенесем 1 в левую часть:

$x - 3 - 1 = 2\sqrt{x+4}$

$x - 4 = 2\sqrt{x+4}$

Определим ОДЗ. Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+4 \ge 0 \implies x \ge -4$. Во-вторых, правая часть $2\sqrt{x+4}$ неотрицательна, значит и левая часть $x-4$ должна быть неотрицательной: $x - 4 \ge 0 \implies x \ge 4$. Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: $x \ge 4$.

Возведем обе части уравнения $x - 4 = 2\sqrt{x+4}$ в квадрат:

$(x - 4)^2 = (2\sqrt{x+4})^2$

$x^2 - 8x + 16 = 4(x+4)$

$x^2 - 8x + 16 = 4x + 16$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 8x - 4x + 16 - 16 = 0$

$x^2 - 12x = 0$

Решим неполное квадратное уравнение, вынеся $x$ за скобки:

$x(x - 12) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 12$.

Проверим корни по ОДЗ ($x \ge 4$).

Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ ($0 < 4$), поэтому является посторонним.

Корень $x_2 = 12$ удовлетворяет ОДЗ ($12 \ge 4$).

Проверка: подставим $x=12$ в исходное уравнение. Левая часть: $12 - 3 = 9$. Правая часть: $2\sqrt{12+4} + 1 = 2\sqrt{16} + 1 = 2 \cdot 4 + 1 = 9$. Равенство $9=9$ верно.

Ответ: 12

1. Дан закон распределения случайной величины $X$:

$X$: 5, 8, 11, 14, 17

$\frac{n_i}{n}$: ?, 0,15, ?, 0,15, ?

Неизвестные относительные частоты пропорциональны числам 2:3:2. Тогда заполненная таблица вариационного ряда относительных частот имеет вид:

A)

$X$: 5, 8, 11, 14, 17

$\frac{n_i}{n}$: 0,2, 0,15, 0,3, 0,15, 0,2

B)

$X$: 5, 8, 11, 14, 17

$\frac{n_i}{n}$: 0,2, 0,15, 0,25, 0,15, 0,2

C)

$X$: 5, 8, 11, 14, 17

$\frac{n_i}{n}$: 0,15, 0,15, 0,25, 0,15, 0,25

D)

$X$: 5, 8, 11, 14, 17

$\frac{n_i}{n}$: 0,1, 0,15, 0,3, 0,15, 0,2

E)

$X$: 5, 8, 11, 14, 17

$\frac{n_i}{n}$: 0,2, 0,15, 0,2, 0,15, 0,3

Для решения данной задачи необходимо использовать основное свойство относительных частот: сумма всех относительных частот в вариационном ряду равна 1.

В таблице даны значения случайной величины $X_i$ и соответствующие им относительные частоты $w_i = \frac{n_i}{n}$.

Значения $X_i$: 5, 8, 11, 14, 17.

Относительные частоты $w_i$: $w_1$, 0,15, $w_3$, 0,15, $w_5$.

Неизвестными являются относительные частоты $w_1$, $w_3$ и $w_5$.

Сумма всех относительных частот должна быть равна 1:$\sum_{i=1}^{5} w_i = 1$$w_1 + 0,15 + w_3 + 0,15 + w_5 = 1$

Найдем сумму неизвестных относительных частот, вычитая известные из единицы:$w_1 + w_3 + w_5 = 1 - (0,15 + 0,15)$$w_1 + w_3 + w_5 = 1 - 0,3$$w_1 + w_3 + w_5 = 0,7$

Согласно условию, неизвестные относительные частоты ($w_1$, $w_3$, $w_5$) пропорциональны числам 2, 3 и 2. Введем коэффициент пропорциональности $k$. Тогда можно записать:$w_1 = 2k$$w_3 = 3k$$w_5 = 2k$

Подставим эти выражения в уравнение для суммы неизвестных частот:$2k + 3k + 2k = 0,7$$7k = 0,7$

Отсюда найдем значение коэффициента $k$:$k = \frac{0,7}{7} = 0,1$

Теперь, зная $k$, мы можем вычислить каждую из неизвестных относительных частот:$w_1 = 2 \cdot 0,1 = 0,2$$w_3 = 3 \cdot 0,1 = 0,3$$w_5 = 2 \cdot 0,1 = 0,2$

Таким образом, заполненная таблица вариационного ряда относительных частот должна иметь следующие значения во второй строке: 0,2; 0,15; 0,3; 0,15; 0,2.

Сравнивая этот результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом A).

Ответ: A