Номер 8.9, страница 69 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

8.9. Найдите значение выражения:

1) $ \frac{97^3 + 23^3}{120} + 97 \cdot 23 $;

2) $ \frac{83^3 + 27^3}{110} - 83 \cdot 27 $;

3) $ \frac{71^2 - 51^2}{122} + 21 $;

4) $ \frac{85^2 - 44^2}{41} + \frac{136^2 - 128^2}{264} $.

1) Для решения этого примера воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

В данном выражении $a = 97$ и $b = 23$. Сумма $a+b = 97 + 23 = 120$, что совпадает со знаменателем дроби.

Подставим значения в выражение:

$\frac{97^3 + 23^3}{120} + 97 \cdot 23 = \frac{(97+23)(97^2 - 97 \cdot 23 + 23^2)}{120} + 97 \cdot 23$

Так как $97+23=120$, мы можем сократить дробь:

$\frac{120 \cdot (97^2 - 97 \cdot 23 + 23^2)}{120} + 97 \cdot 23 = (97^2 - 97 \cdot 23 + 23^2) + 97 \cdot 23$

Сокращаем подобные слагаемые $-97 \cdot 23$ и $+97 \cdot 23$:

$97^2 + 23^2 = 9409 + 529 = 9938$

Ответ: 9938

2) Это выражение похоже на предыдущее. Снова используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Здесь $a = 83$ и $b = 27$. Сумма $a+b = 83 + 27 = 110$, что является знаменателем дроби.

$\frac{83^3 + 27^3}{110} - 83 \cdot 27 = \frac{(83+27)(83^2 - 83 \cdot 27 + 27^2)}{110} - 83 \cdot 27$

Сокращаем дробь, используя $83+27=110$:

$(83^2 - 83 \cdot 27 + 27^2) - 83 \cdot 27 = 83^2 - 2 \cdot 83 \cdot 27 + 27^2$

Полученное выражение является формулой квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

$(83-27)^2 = 56^2 = 3136$

Ответ: 3136

3) В числителе дроби находится разность квадратов. Воспользуемся формулой: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В нашем случае $a = 71$ и $b = 51$.

$\frac{71^2 - 51^2}{122} + 21 = \frac{(71-51)(71+51)}{122} + 21$

Вычислим значения в скобках: $71-51=20$ и $71+51=122$.

$\frac{20 \cdot 122}{122} + 21$

Сокращаем 122 в числителе и знаменателе:

$20 + 21 = 41$

Ответ: 41

4) Это выражение состоит из суммы двух дробей. Для каждой дроби применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Рассмотрим первую дробь: $\frac{85^2 - 44^2}{41}$.

$\frac{(85-44)(85+44)}{41} = \frac{41 \cdot 129}{41} = 129$

Рассмотрим вторую дробь: $\frac{136^2 - 128^2}{264}$.

$\frac{(136-128)(136+128)}{264} = \frac{8 \cdot 264}{264} = 8$

Теперь сложим результаты:

$129 + 8 = 137$

Ответ: 137