Номер 8.4, страница 67 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

8.4. После урока по теме “Элементы математической статистики” на доске остался ответ “среднее значение равно 12” и таблица 17.2.

Таблица 17.2

Варианта: 5, 8, 18, $x$

Кратность: 15, 11, 19, 5

1) Найдите число $x$;

2) найдите размах, моду и медиану распределения;

3) составьте вариационный ряд относительных частот распределения;

4) найдите дисперсию распределения.

1) Найдите число x;

Среднее значение (или выборочное среднее) $\bar{x}$ для дискретного вариационного ряда находится по формуле: $\bar{x} = \frac{\sum v_i n_i}{\sum n_i}$, где $v_i$ — это варианты, а $n_i$ — их кратности (частоты).

По условию задачи, среднее значение $\bar{x} = 12$.

Найдем объем выборки (сумму всех кратностей): $N = \sum n_i = 15 + 11 + 19 + 5 = 50$.

Найдем сумму произведений вариант на их кратности: $\sum v_i n_i = 5 \cdot 15 + 8 \cdot 11 + 18 \cdot 19 + x \cdot 5 = 75 + 88 + 342 + 5x = 505 + 5x$.

Составим уравнение, используя формулу среднего значения:

$12 = \frac{505 + 5x}{50}$

Решим уравнение относительно $x$:

$12 \cdot 50 = 505 + 5x$

$600 = 505 + 5x$

$5x = 600 - 505$

$5x = 95$

$x = \frac{95}{5} = 19$.

Ответ: $x = 19$.

2) найдите размах, моду и медиану распределения;

После нахождения $x=19$ имеем следующий вариационный ряд (варианты 5, 8, 18, 19 уже упорядочены по возрастанию) с их кратностями: 15, 11, 19, 5.

Размах распределения — это разность между максимальным и минимальным значениями варианты.

Размах = $v_{max} - v_{min} = 19 - 5 = 14$.

Мода (Mo) — это варианта с наибольшей кратностью. В данном ряду наибольшая кратность равна 19, что соответствует варианте 18.

Mo = 18.

Медиана (Me) — это значение, которое делит упорядоченный ряд на две равные по количеству членов части. Объем выборки $N=50$ — четное число. Медиана равна среднему арифметическому элементов, стоящих на позициях $\frac{N}{2}$ и $\frac{N}{2}+1$, то есть 25-го и 26-го элементов.

Для определения этих элементов рассмотрим накопленные частоты:

- Первые 15 членов ряда равны 5 (позиции с 1-й по 15-ю).

- Следующие 11 членов (с 16-й по 26-ю включительно) равны 8.

Таким образом, 25-й и 26-й элементы ряда оба равны 8.

Me = $\frac{8 + 8}{2} = 8$.

Ответ: размах равен 14, мода равна 18, медиана равна 8.

3) составьте вариационный ряд относительных частот распределения;

Относительная частота $w_i$ — это отношение кратности варианты $n_i$ к общему объему выборки $N$. Формула: $w_i = \frac{n_i}{N}$. Объем выборки $N = 50$.

Вычислим относительные частоты для каждой варианты:

- Для варианты 5: $w_1 = \frac{15}{50} = 0,3$

- Для варианты 8: $w_2 = \frac{11}{50} = 0,22$

- Для варианты 18: $w_3 = \frac{19}{50} = 0,38$

- Для варианты 19: $w_4 = \frac{5}{50} = 0,1$

Проверка: сумма относительных частот должна быть равна 1: $0,3 + 0,22 + 0,38 + 0,1 = 1,0$.

Ответ: вариационный ряд относительных частот: варианте 5 соответствует относительная частота 0,3; варианте 8 — 0,22; варианте 18 — 0,38; варианте 19 — 0,1.

4) найдите дисперсию распределения.

Дисперсия $D$ для дискретного вариационного ряда вычисляется по формуле: $D = \frac{\sum n_i(v_i - \bar{x})^2}{N}$. Известно, что среднее значение $\bar{x} = 12$ и объем выборки $N=50$.

Рассчитаем квадраты отклонений каждой варианты от среднего значения:

$(v_1 - \bar{x})^2 = (5 - 12)^2 = (-7)^2 = 49$

$(v_2 - \bar{x})^2 = (8 - 12)^2 = (-4)^2 = 16$

$(v_3 - \bar{x})^2 = (18 - 12)^2 = 6^2 = 36$

$(v_4 - \bar{x})^2 = (19 - 12)^2 = 7^2 = 49$

Теперь вычислим взвешенную сумму квадратов отклонений:

$\sum n_i(v_i - \bar{x})^2 = 15 \cdot 49 + 11 \cdot 16 + 19 \cdot 36 + 5 \cdot 49 = 735 + 176 + 684 + 245 = 1840$.

Наконец, найдем дисперсию:

$D = \frac{1840}{50} = 36,8$.

Ответ: дисперсия распределения равна 36,8.