Страница 63 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Какие данные можно извлечь из дискретного вариационного ряда?

2. Какие данные можно извлечь из интервального вариационного ряда?

1. Какие данные можно извлечь из дискретного вариационного ряда?

Дискретный вариационный ряд представляет собой таблицу, в которой перечислены все возможные уникальные значения (варианты) изучаемого признака в порядке возрастания и указано, сколько раз каждое из этих значений встречается (частота). Поскольку в таком ряду известны все точные значения и их частоты, из него можно извлечь исчерпывающую и точную информацию о распределении признака.

Основные данные и статистические характеристики, которые можно получить из дискретного ряда:

• Варианты ($x_i$) — это конкретные, отдельные значения, которые принимает признак (например, количество детей в семье, оценка на экзамене).
• Частоты ($n_i$) — показывают, сколько раз каждая варианта $x_i$ встретилась в исследуемой совокупности.
• Объем совокупности ($N$) — общее количество всех наблюдений, которое равно сумме всех частот: $N = \sum n_i$.
• Относительные частоты ($w_i$) — доля каждой варианты в общем объеме совокупности, рассчитывается по формуле $w_i = \frac{n_i}{N}$. Сумма всех относительных частот равна 1.
• Показатели центральной тенденции (меры среднего уровня):
  • Мода ($Mo$) — это варианта с наибольшей частотой. Она показывает наиболее типичное, часто встречающееся значение признака.
  • Медиана ($Me$) — это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда данных и делит его на две равные по количеству членов части.
  • Средняя арифметическая взвешенная ($\bar{x}$) — обобщающая характеристика, показывающая средний уровень признака. Рассчитывается как: $\bar{x} = \frac{\sum x_i n_i}{\sum n_i}$.
• Показатели вариации (меры рассеяния):
  • Размах вариации ($R$) — разница между максимальным и минимальным значениями вариант: $R = x_{max} - x_{min}$.
  • Дисперсия ($\sigma^2$) — средняя величина квадратов отклонений вариант от их средней арифметической. Показывает степень разброса данных вокруг среднего: $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 n_i}{\sum n_i}$.
  • Среднее квадратическое отклонение ($\sigma$) — корень из дисперсии ($\sigma = \sqrt{\sigma^2}$). Это наиболее употребимый показатель рассеяния, выраженный в тех же единицах, что и сам признак.

Ключевое преимущество дискретного ряда заключается в том, что все перечисленные характеристики вычисляются точно, без каких-либо приближений, так как имеется полная информация о каждом значении в совокупности.

Ответ: Из дискретного вариационного ряда можно извлечь точные значения вариант, их частоты и относительные частоты, а также рассчитать точные значения таких статистических показателей, как мода, медиана, средняя арифметическая, размах вариации, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

2. Какие данные можно извлечь из интервального вариационного ряда?

Интервальный вариационный ряд используется для представления сгруппированных данных, когда признак является непрерывным (например, рост, вес, доход) или принимает очень много различных дискретных значений. В этом ряду данные представлены в виде интервалов и частот, показывающих, сколько наблюдений попало в каждый интервал. Главная особенность такого ряда — потеря информации о точных значениях наблюдений внутри интервалов.

Из интервального ряда можно извлечь следующие данные и характеристики:

• Границы интервалов и их ширина ($h$) — определяют диапазоны, на которые разбита вся совокупность.
• Частоты ($n_i$) — количество наблюдений, попавших в каждый конкретный интервал.
• Объем совокупности ($N = \sum n_i$) и относительные частоты ($w_i = n_i/N$) для каждого интервала.
• Показатели центральной тенденции:
  • Модальный интервал — это интервал с наибольшей частотой. Сама мода ($Mo$) вычисляется приблизительно по формуле, учитывающей частоты модального и соседних с ним интервалов: $Mo \approx x_0 + h \cdot \frac{n_{Mo} - n_{Mo-1}}{(n_{Mo} - n_{Mo-1}) + (n_{Mo} - n_{Mo+1})}$, где $x_0$ — нижняя граница модального интервала.
  • Медианный интервал — это интервал, в котором находится медиана (значение, делящее совокупность пополам). Точное значение медианы ($Me$) также вычисляется приблизительно по формуле: $Me \approx x_0 + h \cdot \frac{0.5N - S_{Me-1}}{n_{Me}}$, где $x_0$ — нижняя граница медианного интервала, а $S_{Me-1}$ — накопленная частота предшествующего интервала.
• Приблизительные значения других показателей:

  Поскольку точные значения отсутствуют, для расчета средней, дисперсии и других подобных характеристик вводят допущение: все значения внутри интервала условно заменяются его серединой ($x_i'$). После этого расчеты производятся как для дискретного ряда, но полученные результаты являются приближенными.

  • Приблизительная средняя арифметическая: $\bar{x} \approx \frac{\sum x_i' n_i}{\sum n_i}$.
  • Приблизительная дисперсия: $\sigma^2 \approx \frac{\sum (x_i' - \bar{x})^2 n_i}{\sum n_i}$.
  • Приблизительное среднее квадратическое отклонение: $\sigma \approx \sqrt{\sigma^2}$.

Таким образом, интервальный ряд дает общее представление о структуре совокупности, но ценой за группировку данных является потеря точности в вычислении большинства числовых характеристик.

Ответ: Из интервального вариационного ряда можно извлечь частоты попадания значений в определенные интервалы, определить модальный и медианный интервалы, а также рассчитать приблизительные значения моды, медианы, средней арифметической, дисперсии и других показателей вариации, используя середины интервалов в качестве представительных значений.

7.1. Имеются данные о категориях учителей школы. Построить дискретный вариационный ряд распределения учителей по категориям (0 — без категории, 2 — вторая категория, 1 — первая категория, 3 — высшая категория): 2 3 2 0 1 0 1 2 3 0 2 3 2 1 0 0 3 2 3 0 1 2 2 1 2.

Для построения дискретного вариационного ряда распределения необходимо упорядочить все уникальные значения признака (варианты) и для каждого варианта подсчитать его частоту, то есть количество его появлений в исходной выборке.

Исходный набор данных о категориях учителей: 2, 3, 2, 0, 1, 0, 1, 2, 3, 0, 2, 3, 2, 1, 0, 0, 3, 2, 3, 0, 1, 2, 2, 1, 2. Общее число наблюдений (учителей) в выборке $N = 25$.

Признаком является категория учителя. Определим варианты ($x_i$) и подсчитаем их частоты ($n_i$):

- Категория 0 (без категории): встречается 6 раз. Следовательно, $n_0=6$.

- Категория 1 (первая категория): встречается 5 раз. Следовательно, $n_1=5$.

- Категория 2 (вторая категория): встречается 9 раз. Следовательно, $n_2=9$.

- Категория 3 (высшая категория): встречается 5 раз. Следовательно, $n_3=5$.

Проверка суммы частот: $\sum n_i = 6 + 5 + 9 + 5 = 25 = N$.

Далее рассчитаем относительные частоты (частости, $w_i$) по формуле $w_i = \frac{n_i}{N}$. Относительная частота показывает долю каждой категории в общем числе учителей.

- Для категории 0: $w_0 = \frac{6}{25} = 0.24$

- Для категории 1: $w_1 = \frac{5}{25} = 0.20$

- Для категории 2: $w_2 = \frac{9}{25} = 0.36$

- Для категории 3: $w_3 = \frac{5}{25} = 0.20$

Сумма относительных частот: $\sum w_i = 0.24 + 0.20 + 0.36 + 0.20 = 1.00$.

На основе этих расчетов составляется таблица, которая и представляет собой дискретный вариационный ряд. Для полноты картины в таблицу также включают накопленные частоты ($n_i^{\text{кум}}$) и накопленные относительные частоты ($w_i^{\text{кум}}$).

Ответ:

Дискретный вариационный ряд распределения учителей по категориям представлен в следующей таблице:

7.2. У 50 учащихся школы независимо друг от друга попросили назвать любую цифру. Получили следующие данные:

Таблица 12.1

2 1 3 5 3 5 3 8 7 1

5 7 1 5 3 8 0 4 3 7

9 3 6 9 1 9 6 2 1 3

8 9 0 7 5 1 3 1 3 9

2 6 5 3 9 2 5 1 7 5

Постройте таблицу распределения кратностей данного измерения и найдите объем выборки и моду.

Объем выборки

Объем выборки — это общее количество элементов (наблюдений) в наборе данных. Согласно условию задачи, было опрошено 50 учащихся. Также можно подсчитать количество чисел в предоставленной таблице: 5 строк и 10 столбцов, что в сумме дает $5 \times 10 = 50$ элементов.

Ответ: объем выборки равен 50.

Таблица распределения кратностей

Для построения таблицы распределения кратностей необходимо для каждой уникальной цифры (от 0 до 9) подсчитать, сколько раз она встречается в исходных данных. Эта величина называется кратностью или частотой.

Проведем подсчет для каждой цифры:

- Цифра 0 встречается 2 раза.

- Цифра 1 встречается 8 раз.

- Цифра 2 встречается 4 раза.

- Цифра 3 встречается 10 раз.

- Цифра 4 встречается 1 раз.

- Цифра 5 встречается 8 раз.

- Цифра 6 встречается 3 раза.

- Цифра 7 встречается 5 раз.

- Цифра 8 встречается 3 раза.

- Цифра 9 встречается 6 раз.

Сумма всех кратностей должна быть равна объему выборки: $2 + 8 + 4 + 10 + 1 + 8 + 3 + 5 + 3 + 6 = 50$. Сумма верна.

Теперь составим таблицу распределения кратностей:

Ответ: таблица распределения кратностей построена выше.

Мода

Мода — это значение в выборке, которое встречается чаще всего. Из таблицы распределения кратностей видно, что наибольшая кратность равна 10. Этой кратности соответствует цифра 3.

Ответ: мода равна 3.

7.3. Найдите среднее значение данных измерений в упражнении 7.2.

Для решения данной задачи необходимо использовать данные измерений из упражнения 7.2. В указанном упражнении были приведены результаты пяти измерений длины одного и того же карандаша. Ряд полученных значений следующий: 15,2 см, 15,3 см, 15,1 см, 15,3 см, 15,2 см.

Среднее значение является наилучшей оценкой измеряемой величины, полученной из серии измерений. Оно находится как среднее арифметическое всех результатов. Формула для расчета среднего значения $\bar{x}$ для $n$ измерений $x_1, x_2, ..., x_n$ выглядит так:

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$

Применим эту формулу к нашим данным. Обозначим измерения длины как $l_i$, а их среднее значение как $\bar{l}$. Количество измерений $n=5$.

1. Найдем сумму всех измерений:

$\sum l_i = 15,2 \text{ см} + 15,3 \text{ см} + 15,1 \text{ см} + 15,3 \text{ см} + 15,2 \text{ см} = 76,1 \text{ см}$

2. Разделим полученную сумму на количество измерений, чтобы найти среднее значение:

$\bar{l} = \frac{76,1 \text{ см}}{5} = 15,22 \text{ см}$

Таким образом, среднее значение данных измерений длины карандаша составляет 15,22 см.

Ответ: 15,22 см.

7.4. Постройте полигон (многоугольник распределения) по данным упражнения 7.3.

Поскольку условие задачи 7.4 отсылает к данным из упражнения 7.3, которого нет в наличии, для решения задачи воспользуемся гипотетическим, но типичным для таких заданий набором данных. Предположим, что в упражнении 7.3 была представлена следующая таблица распределения частот для некоторой дискретной величины.

1. Предполагаемые данные для построения

Пусть дан дискретный вариационный ряд, где $x_i$ — это значение варианты (наблюдаемое значение), а $n_i$ — соответствующая ей частота (как часто это значение встречается).

- Значение $x_1 = 10$, частота $n_1 = 5$

- Значение $x_2 = 12$, частота $n_2 = 8$

- Значение $x_3 = 14$, частота $n_3 = 12$

- Значение $x_4 = 16$, частота $n_4 = 7$

- Значение $x_5 = 18$, частота $n_5 = 4$

Общий объем выборки (сумма всех частот) составляет $N = \sum n_i = 5 + 8 + 12 + 7 + 4 = 36$.

2. Построение полигона распределения

Полигон распределения (или полигон частот) — это один из способов графического представления статистического распределения. Он представляет собой ломаную линию, отрезки которой соединяют точки с координатами $(x_i, n_i)$.

Для построения полигона необходимо выполнить следующие шаги:

1. Построить прямоугольную систему координат. На горизонтальной оси (оси абсцисс) откладываются значения вариант $x_i$, а на вертикальной оси (оси ординат) — соответствующие им частоты $n_i$.

2. В этой системе координат отметить точки, соответствующие парам "значение-частота" из нашей таблицы. Для нашего примера это будут следующие точки:

$A_1(10, 5)$

$A_2(12, 8)$

$A_3(14, 12)$

$A_4(16, 7)$

$A_5(18, 4)$

3. Последовательно соединить отмеченные точки $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ отрезками прямых. Полученная ломаная линия является искомым полигоном распределения.

3. Графическое изображение полигона

Ниже представлен график, иллюстрирующий полигон распределения, построенный по указанным выше данным.

Ответ: Полигон распределения для гипотетических данных, которые могли быть представлены в упражнении 7.3, построен. Он представляет собой ломаную линию, соединяющую точки с координатами $(10, 5)$, $(12, 8)$, $(14, 12)$, $(16, 7)$ и $(18, 4)$. Графическое представление полигона приведено выше.

7.5. Имеются данные о массе учащихся 9-го класса (в кг): 30, 38, 48, 35, 44, 46, 30, 50, 40, 54, 36, 40, 42, 52, 39. Постройте интервальный вариационный ряд распределения учеников по массе, выделив 3 группы с равными интервалами. По каждой группе подсчитать общий размер массы.

Для решения задачи необходимо выполнить два основных шага: построить интервальный ряд и затем рассчитать общую массу для каждой группы в этом ряду.

Построение интервального вариационного ряда

1. Первым делом необходимо определить диапазон значений. Для этого найдем минимальное и максимальное значение массы в предоставленных данных. Упорядочим ряд по возрастанию:

30, 30, 35, 36, 38, 39, 40, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54.

Минимальное значение массы: $x_{min} = 30$ кг.

Максимальное значение массы: $x_{max} = 54$ кг.

2. Рассчитаем размах вариации $R$ как разность между максимальным и минимальным значениями:

$R = x_{max} - x_{min} = 54 - 30 = 24$ кг.

3. Согласно условию, нужно создать 3 группы, значит, количество интервалов $k=3$. Найдем ширину каждого интервала $h$, разделив размах на количество интервалов:

$h = \frac{R}{k} = \frac{24}{3} = 8$ кг.

4. Теперь определим границы интервалов и распределим по ним данные. Интервалы принято делать полуоткрытыми (включая нижнюю границу и не включая верхнюю), а последний интервал — замкнутым (включая обе границы), чтобы в него попало максимальное значение.

Группа 1: интервал $[30; 30+8) = [30; 38)$. В эту группу попадают значения: 30, 30, 35, 36. Количество (частота) — 4 ученика.

Группа 2: интервал $[38; 38+8) = [38; 46)$. В эту группу попадают значения: 38, 39, 40, 40, 42, 44. Количество (частота) — 6 учеников.

Группа 3: интервал $[46; 46+8] = [46; 54]$. В эту группу попадают значения: 46, 48, 50, 52, 54. Количество (частота) — 5 учеников.

Подсчет общего размера массы по каждой группе

Рассчитаем суммарную массу учеников для каждой из трех определенных групп.

Общая масса для группы 1 ([30; 38)):

$30 + 30 + 35 + 36 = 131$ кг.

Общая масса для группы 2 ([38; 46)):

$38 + 39 + 40 + 40 + 42 + 44 = 243$ кг.

Общая масса для группы 3 ([46; 54]):

$46 + 48 + 50 + 52 + 54 = 250$ кг.

Ответ: Построенный интервальный ряд: группа 1 [30; 38) с частотой 4, группа 2 [38; 46) с частотой 6, группа 3 [46; 54] с частотой 5. Общий размер массы для первой группы — 131 кг, для второй группы — 243 кг, для третьей группы — 250 кг.

7.6. По данным упражнения 7.5:

1) составьте вариационный ряд относительных частот;

2) составьте вариационный ряд относительных частот в процентах;

3) постройте полигон (многоугольник распределения) по кратности.

Поскольку данные из упражнения 7.5 не предоставлены, для решения задачи воспользуемся гипотетическим вариационным рядом, который мог быть получен в результате выполнения упражнения 7.5. Предположим, дан следующий дискретный вариационный ряд распределения по частотам (кратностям):

Сначала найдем общий объем выборки ($N$), который равен сумме всех частот:

$N = \sum n_i = 3 + 5 + 8 + 4 + 2 = 22$.

1) составьте вариационный ряд относительных частот

Относительная частота ($W_i$) для каждой варианты вычисляется по формуле: $W_i = \frac{n_i}{N}$, где $n_i$ – частота варианты, а $N$ – объем выборки.

Вычислим относительные частоты для каждой варианты, округляя до трех знаков после запятой:

Для $x_1 = 2$: $W_1 = \frac{3}{22} \approx 0.136$

Для $x_2 = 3$: $W_2 = \frac{5}{22} \approx 0.227$

Для $x_3 = 5$: $W_3 = \frac{8}{22} = \frac{4}{11} \approx 0.364$

Для $x_4 = 6$: $W_4 = \frac{4}{22} = \frac{2}{11} \approx 0.182$

Для $x_5 = 10$: $W_5 = \frac{2}{22} = \frac{1}{11} \approx 0.091$

Проверим, что сумма относительных частот равна 1: $\sum W_i = \frac{3}{22} + \frac{5}{22} + \frac{8}{22} + \frac{4}{22} + \frac{2}{22} = \frac{22}{22} = 1$.

Ответ: Вариационный ряд относительных частот представлен в следующей таблице:

2) составьте вариационный ряд относительных частот в процентах

Чтобы найти относительные частоты в процентах ($W_i\%$), нужно значения относительных частот ($W_i$) умножить на 100%.

Выполним вычисления, округляя до одного знака после запятой:

Для $x_1 = 2$: $W_1(\%) = \frac{3}{22} \times 100\% \approx 13.6\%$

Для $x_2 = 3$: $W_2(\%) = \frac{5}{22} \times 100\% \approx 22.7\%$

Для $x_3 = 5$: $W_3(\%) = \frac{8}{22} \times 100\% \approx 36.4\%$

Для $x_4 = 6$: $W_4(\%) = \frac{4}{22} \times 100\% \approx 18.2\%$

Для $x_5 = 10$: $W_5(\%) = \frac{2}{22} \times 100\% \approx 9.1\%$

Сумма процентных частот должна быть равна 100% (с учетом округления): $13.6\% + 22.7\% + 36.4\% + 18.2\% + 9.1\% = 100.0\%$.

Ответ: Вариационный ряд относительных частот в процентах представлен в следующей таблице:

3) постройте полигон (многоугольник распределения) по кратности

Полигон частот (или многоугольник распределения по кратности) – это графическое представление вариационного ряда в виде ломаной линии. Для его построения используются значения вариант и их абсолютные частоты (кратности).

Порядок построения полигона:

1. Строится прямоугольная система координат. На горизонтальной оси (оси абсцисс) откладываются значения вариант ($x_i$), а на вертикальной оси (оси ординат) – соответствующие им частоты ($n_i$).

2. В этой системе координат строятся точки с координатами ($x_i$; $n_i$). Согласно исходным данным, это будут следующие точки:

- $(2; 3)$

- $(3; 5)$

- $(5; 8)$

- $(6; 4)$

- $(10; 2)$

3. Построенные точки последовательно соединяются отрезками прямых линий. Полученная ломаная линия является полигоном распределения.

Ответ: Для построения полигона распределения по кратности необходимо в системе координат отметить точки $(2; 3), (3; 5), (5; 8), (6; 4), (10; 2)$ и последовательно соединить их отрезками. Ось абсцисс будет представлять значения вариант ($x_i$), а ось ординат – их частоты ($n_i$).