Страница 58 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

6.7. В крестьянском хозяйстве при сборе картофеля провели взвешивание отдельных клубней. Результаты массы клубней (в граммах) приведены в таблице 9.6.

Таблица 9.6

По данным таблицы:

1) Составьте вариационный ряд результатов и найдите объем выборки.

2) Составьте вариационный ряд относительных частот.

3) Составьте вариационный ряд относительных частот в процентах.

4) Постройте полигон (многоугольник распределения) относительных частот в процентах.

1) Составьте вариационный ряд результатов и найдите объем выборки.

Для начала определим объем выборки, то есть общее количество взвешенных клубней картофеля. В таблице 9.6 представлено 5 строк и 5 столбцов с данными, следовательно, общее количество измерений:

$n = 5 \times 5 = 25$.

Таким образом, объем выборки $n$ равен 25.

Далее составим вариационный ряд. Для этого необходимо упорядочить уникальные значения массы (варианты) и подсчитать, сколько раз каждое значение встречается в выборке (частота).

Проанализируем данные из таблицы: 60, 59, 61, 56, 62, 57, 59, 58, 58, 58, 56, 58, 59, 59, 57, 61, 61, 59, 57, 59, 58, 56, 62, 60, 60.

Подсчитаем частоты ($m_i$) для каждой уникальной массы ($x_i$):

Масса 56 г ($x_1$) встречается 3 раза ($m_1=3$).

Масса 57 г ($x_2$) встречается 3 раза ($m_2=3$).

Масса 58 г ($x_3$) встречается 5 раз ($m_3=5$).

Масса 59 г ($x_4$) встречается 6 раз ($m_4=6$).

Масса 60 г ($x_5$) встречается 3 раза ($m_5=3$).

Масса 61 г ($x_6$) встречается 3 раза ($m_6=3$).

Масса 62 г ($x_7$) встречается 2 раза ($m_7=2$).

Для проверки правильности подсчетов сложим все частоты: $3 + 3 + 5 + 6 + 3 + 3 + 2 = 25$, что равно объему выборки.

Теперь представим вариационный ряд (статистическое распределение частот) в виде таблицы.

Ответ: Объем выборки $n = 25$. Вариационный ряд представлен в таблице выше.

2) Составьте вариационный ряд относительных частот.

Относительная частота ($W_i$) показывает долю каждой варианты в общем объеме выборки и вычисляется по формуле $W_i = \frac{m_i}{n}$, где $m_i$ – частота варианты, а $n$ – объем выборки ($n=25$).

Вычислим относительные частоты для каждой массы:

$W_{56} = \frac{3}{25} = 0.12$

$W_{57} = \frac{3}{25} = 0.12$

$W_{58} = \frac{5}{25} = 0.20$

$W_{59} = \frac{6}{25} = 0.24$

$W_{60} = \frac{3}{25} = 0.12$

$W_{61} = \frac{3}{25} = 0.12$

$W_{62} = \frac{2}{25} = 0.08$

Сумма всех относительных частот должна быть равна 1: $0.12 + 0.12 + 0.20 + 0.24 + 0.12 + 0.12 + 0.08 = 1.00$.

Вариационный ряд относительных частот представлен в таблице:

Ответ: Вариационный ряд относительных частот представлен в таблице выше.

3) Составьте вариационный ряд относительных частот в процентах.

Для получения относительных частот в процентах ($W_i (\%)$) необходимо умножить значения относительных частот на 100%.

$W_{56}(\%) = 0.12 \times 100\% = 12\%$

$W_{57}(\%) = 0.12 \times 100\% = 12\%$

$W_{58}(\%) = 0.20 \times 100\% = 20\%$

$W_{59}(\%) = 0.24 \times 100\% = 24\%$

$W_{60}(\%) = 0.12 \times 100\% = 12\%$

$W_{61}(\%) = 0.12 \times 100\% = 12\%$

$W_{62}(\%) = 0.08 \times 100\% = 8\%$

Сумма относительных частот в процентах должна быть равна 100%: $12\% + 12\% + 20\% + 24\% + 12\% + 12\% + 8\% = 100\%$.

Вариационный ряд относительных частот в процентах:

Ответ: Вариационный ряд относительных частот в процентах представлен в таблице выше.

4) Постройте полигон (многоугольник распределения) относительных частот в процентах.

Полигон распределения — это графическое представление вариационного ряда в виде ломаной линии. Для его построения на оси абсцисс (горизонтальной) откладываются значения вариант (масса клубней), а на оси ординат (вертикальной) — соответствующие им относительные частоты в процентах.

На координатной плоскости отметим точки с координатами $(x_i, W_i (\%))$:

(56; 12), (57; 12), (58; 20), (59; 24), (60; 12), (61; 12), (62; 8).

Соединив эти точки последовательно отрезками, получим искомый полигон.

Ответ: Полигон распределения относительных частот в процентах построен на графике выше.

6.8. Найдите неопределенный интеграл:

1) $ \int(1 + \sqrt{x+1})dx; $

2) $ \int\left(x + \frac{2}{(x-1)^2}\right)dx; $

3) $ \int(\sin2x + x^{-3})dx; $

4) $ \int\left(2 - \frac{1}{\cos^2 2x}\right)dx. $

1)

Для нахождения неопределенного интеграла $\int (1 + \sqrt{x+1}) dx$ воспользуемся свойством линейности интеграла, представив его в виде суммы двух интегралов:

$\int (1 + \sqrt{x+1}) dx = \int 1 dx + \int \sqrt{x+1} dx$

Первый интеграл является табличным:

$\int 1 dx = x + C_1$

Для второго интеграла $\int \sqrt{x+1} dx$ представим корень как степень $1/2$ и применим метод замены переменной. Пусть $t = x+1$, тогда $dt = d(x+1) = (x+1)'dx = 1 \cdot dx = dx$.

$\int \sqrt{x+1} dx = \int (x+1)^{1/2} dx = \int t^{1/2} dt$

Теперь используем формулу для интеграла от степенной функции $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int t^{1/2} dt = \frac{t^{1/2+1}}{1/2+1} + C_2 = \frac{t^{3/2}}{3/2} + C_2 = \frac{2}{3}t^{3/2} + C_2$

Произведем обратную замену $t = x+1$:

$\frac{2}{3}(x+1)^{3/2} + C_2$

Суммируем результаты, объединяя произвольные постоянные $C_1$ и $C_2$ в одну константу $C = C_1 + C_2$:

$x + \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} + C$

Ответ: $x + \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} + C$.

2)

Найдем интеграл $\int (x + \frac{2}{(x-1)^2}) dx$. Разделим его на два интеграла:

$\int (x + \frac{2}{(x-1)^2}) dx = \int x dx + \int \frac{2}{(x-1)^2} dx$

Первый интеграл – табличный:

$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C_1$

Во втором интеграле вынесем константу $2$ за знак интеграла и представим дробь в виде степени:

$\int \frac{2}{(x-1)^2} dx = 2 \int (x-1)^{-2} dx$

Применим метод замены переменной. Пусть $t = x-1$, тогда $dt = dx$.

$2 \int t^{-2} dt = 2 \cdot \frac{t^{-2+1}}{-2+1} + C_2 = 2 \cdot \frac{t^{-1}}{-1} + C_2 = -2t^{-1} + C_2 = -\frac{2}{t} + C_2$

Произведем обратную замену $t = x-1$:

$-\frac{2}{x-1} + C_2$

Объединим результаты и константы $C = C_1 + C_2$:

$\frac{x^2}{2} - \frac{2}{x-1} + C$

Ответ: $\frac{x^2}{2} - \frac{2}{x-1} + C$.

3)

Найдем интеграл $\int (\sin(2x) + x^{-3}) dx$. Разделим его на сумму двух интегралов:

$\int (\sin(2x) + x^{-3}) dx = \int \sin(2x) dx + \int x^{-3} dx$

Для первого интеграла $\int \sin(2x) dx$ используем замену переменной. Пусть $t = 2x$, тогда $dt = 2dx$, откуда $dx = \frac{1}{2}dt$.

$\int \sin(2x) dx = \int \sin(t) \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int \sin(t) dt = \frac{1}{2} (-\cos(t)) + C_1 = -\frac{1}{2}\cos(t) + C_1$

Выполним обратную замену $t = 2x$:

$-\frac{1}{2}\cos(2x) + C_1$

Второй интеграл $\int x^{-3} dx$ является табличным для степенной функции:

$\int x^{-3} dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C_2 = \frac{x^{-2}}{-2} + C_2 = -\frac{1}{2x^2} + C_2$

Сложим результаты и объединим константы $C = C_1 + C_2$:

$-\frac{1}{2}\cos(2x) - \frac{1}{2x^2} + C$

Ответ: $-\frac{1}{2}\cos(2x) - \frac{1}{2x^2} + C$.

4)

Найдем интеграл $\int (2 - \frac{1}{\cos^2(2x)}) dx$. Разделим его на разность двух интегралов:

$\int (2 - \frac{1}{\cos^2(2x)}) dx = \int 2 dx - \int \frac{1}{\cos^2(2x)} dx$

Первый интеграл:

$\int 2 dx = 2x + C_1$

Для второго интеграла $\int \frac{1}{\cos^2(2x)} dx$ применим замену переменной. Пусть $t = 2x$, тогда $dt = 2dx$, откуда $dx = \frac{1}{2}dt$.

$\int \frac{1}{\cos^2(2x)} dx = \int \frac{1}{\cos^2(t)} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\cos^2(t)} dt$

Интеграл $\int \frac{1}{\cos^2(t)} dt$ является табличным, его результат $\tan(t) + C_2$.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\cos^2(t)} dt = \frac{1}{2}\tan(t) + C_2$

Выполним обратную замену $t = 2x$:

$\frac{1}{2}\tan(2x) + C_2$

Объединим результаты, приняв $C = C_1 - C_2$:

$2x - \frac{1}{2}\tan(2x) + C$

Ответ: $2x - \frac{1}{2}\tan(2x) + C$.

6.9. Исследуйте функцию на четность:

1) $f(x) = x \cdot \arcsin 2x;$

2) $f(x) = x \cdot \operatorname{arctg} 2x;$

3) $f(x) = x \cdot \arccos x;$

4) $f(x) = x^2 \cdot \cos 2x + \sqrt{|x|}.$

1) $f(x) = x \cdot \arcsin2x$;

Для исследования функции на четность необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат.

2. Должно выполняться одно из равенств: $f(-x) = f(x)$ (функция четная) или $f(-x) = -f(x)$ (функция нечетная).

Найдем область определения функции $f(x) = x \cdot \arcsin(2x)$.

Аргумент функции арксинус должен находиться в пределах от -1 до 1:

$-1 \le 2x \le 1$

$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$

Область определения $D(f) = [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$. Этот промежуток симметричен относительно нуля, поэтому первое условие выполняется.

Теперь найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x) \cdot \arcsin(2(-x)) = -x \cdot \arcsin(-2x)$.

Используем свойство нечетности арксинуса: $\arcsin(-u) = -\arcsin(u)$.

$f(-x) = -x \cdot (-\arcsin(2x)) = x \cdot \arcsin(2x)$.

Получили, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является четной.

Ответ: функция четная.

2) $f(x) = x \cdot \operatorname{arctg}2x$;

Найдем область определения функции. Функция арктангенс определена для любых действительных значений аргумента, поэтому область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Область определения симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x) \cdot \operatorname{arctg}(2(-x)) = -x \cdot \operatorname{arctg}(-2x)$.

Используем свойство нечетности арктангенса: $\operatorname{arctg}(-u) = -\operatorname{arctg}(u)$.

$f(-x) = -x \cdot (-\operatorname{arctg}(2x)) = x \cdot \operatorname{arctg}(2x)$.

Получили, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является четной.

Ответ: функция четная.

3) $f(x) = x \cdot \arccos x$;

Найдем область определения функции. Аргумент функции арккосинус должен находиться в пределах от -1 до 1:

$-1 \le x \le 1$

Область определения $D(f) = [-1; 1]$. Этот промежуток симметричен относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x) \cdot \arccos(-x)$.

Используем свойство функции арккосинус: $\arccos(-u) = \pi - \arccos(u)$.

$f(-x) = -x \cdot (\pi - \arccos(x)) = -x\pi + x \cdot \arccos(x) = -x\pi + f(x)$.

Проверим условия четности и нечетности.

Равенство $f(-x) = f(x)$ не выполняется, так как $-x\pi + f(x) = f(x)$ приводит к $-x\pi = 0$, что верно только при $x=0$, а не для всех $x$ из области определения.

Равенство $f(-x) = -f(x)$ не выполняется, так как $-x\pi + f(x) = -f(x)$ приводит к $-x\pi = -2f(x)$, то есть $-x\pi = -2x \arccos(x)$, что эквивалентно $\arccos(x) = \frac{\pi}{2}$ (при $x \neq 0$), и верно только для $x=0$.

Так как ни одно из условий не выполняется для всех $x$ из $D(f)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: функция ни четная, ни нечетная (общего вида).

4) $f(x) = x^2 \cdot \cos2x + \sqrt{|x|}$;

Найдем область определения функции. Выражение $\sqrt{|x|}$ определено для всех действительных $x$, так как $|x| \ge 0$. Функции $x^2$ и $\cos(2x)$ также определены для всех $x$. Таким образом, область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^2 \cdot \cos(2(-x)) + \sqrt{|-x|}$.

Используем свойства: $(-x)^2 = x^2$, четность косинуса $\cos(-u) = \cos(u)$ и свойство модуля $|-x| = |x|$.

$f(-x) = x^2 \cdot \cos(2x) + \sqrt{|x|}$.

Получили, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является четной.

Ответ: функция четная.