Страница 51 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

7. Вычислите $\int_{2}^{4} 10xdx:$

A) 0;

B) 100;

C) 80;

D) 60.

Для вычисления данного определенного интеграла $ \int_{2}^{4} 10x \,dx $ мы воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ — первообразная для функции $ f(x) $.

1. Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = 10x $. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла. Для нахождения интеграла от $ x $ используем табличное значение $ \int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $. В нашем случае $ n=1 $.

$ F(x) = \int 10x \,dx = 10 \int x^1 \,dx = 10 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 10 \cdot \frac{x^2}{2} = 5x^2 $.

2. Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница, подставив пределы интегрирования $ a=2 $ (нижний) и $ b=4 $ (верхний):

$ \int_{2}^{4} 10x \,dx = [5x^2]_{2}^{4} = F(4) - F(2) $.

3. Вычислим значения первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования:

$ F(4) = 5 \cdot (4)^2 = 5 \cdot 16 = 80 $.

$ F(2) = 5 \cdot (2)^2 = 5 \cdot 4 = 20 $.

4. Найдем разность полученных значений:

$ F(4) - F(2) = 80 - 20 = 60 $.

Таким образом, значение интеграла равно 60. Это соответствует варианту ответа D.

Ответ: D) 60.

8. Выберите формулу, по которой можно вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке:

A) $S = S_{\text{кр. трап.}} - S_{\Delta}$;
B) $S = S_{\text{кр. трап.}} + S_{\Delta}$;
C) $S = 2S_{\text{кр. трап.}} - S_{\Delta}$;
D) $S = S_{\text{кр. трап.}}$

На рисунке изображена фигура, которая в математическом анализе называется криволинейной трапецией. По определению, это фигура, ограниченная осью абсцисс (Ox), двумя вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$, и графиком непрерывной, неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y=f(x)$. Заштрихованная на рисунке область полностью соответствует этому определению.

В задании требуется выбрать формулу для вычисления площади $S$ этой фигуры. Проанализируем предложенные варианты, где $S_{кр. трап.}$ обозначает площадь криволинейной трапеции, а $S_{\triangle}$ — площадь треугольника.

A) $S = S_{кр. трап.} - S_{\triangle}$

Эта формула неверна. Она предполагает, что искомая площадь является результатом вычитания площади треугольника из площади некоторой криволинейной трапеции, что не соответствует изображению.

B) $S = S_{кр. трап.} + S_{\triangle}$

Эта формула также неверна. Она описывает площадь фигуры, которая является суммой площадей криволинейной трапеции и треугольника.

C) $S = 2S_{кр. трап.} - S_{\triangle}$

Эта формула не имеет простого геометрического смысла в данном контексте и является неверной.

D) $S = S_{кр. трап.}$

Эта формула верна. Она констатирует тот факт, что площадь $S$ изображенной фигуры и есть площадь криволинейной трапеции, которая обозначается как $S_{кр. трап.}$. Это утверждение истинно по определению. Для вычисления этой площади используется определенный интеграл.

Ответ: D

9. Найдите площадь заштрихованной фигуры, изображенной на рисунке:

A) $ \frac{3}{10} $;

B) 8;

C) 10;

D) $ 3\frac{1}{3} $.

Для нахождения площади заштрихованной фигуры, необходимо вычислить определенный интеграл. Сначала определим уравнение кривой, ограничивающей фигуру сверху.

Из рисунка видно, что кривая является параболой. Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$. Уравнение такой параболы имеет вид $y = ax^2 + 1$. Чтобы найти коэффициент $a$, воспользуемся еще одной точкой, через которую проходит парабола, например, точкой $(1, 2)$. Подставим ее координаты в уравнение:$2 = a \cdot 1^2 + 1$$2 = a + 1$$a = 1$

Таким образом, уравнение параболы: $y = x^2 + 1$. Проверим это по точке $(2, 5)$, также видимой на графике: $y(2) = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$. Уравнение найдено верно.

Заштрихованная фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции $y = x^2 + 1$, снизу — осью абсцисс (хотя она не касается ее в этом интервале), и с боков — прямыми $x=1$ и $x=2$.

Площадь такой фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:$S = \int_a^b f(x)dx$В нашем случае $f(x) = x^2 + 1$, $a=1$, $b=2$.$S = \int_1^2 (x^2 + 1) dx$

Найдем первообразную для функции $f(x) = x^2 + 1$:$F(x) = \frac{x^3}{3} + x$

Теперь вычислим значение определенного интеграла:$S = F(2) - F(1) = \left(\frac{2^3}{3} + 2\right) - \left(\frac{1^3}{3} + 1\right) = \left(\frac{8}{3} + 2\right) - \left(\frac{1}{3} + 1\right)$$S = \left(\frac{8}{3} + \frac{6}{3}\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{3}{3}\right) = \frac{14}{3} - \frac{4}{3} = \frac{10}{3}$

Представим результат в виде смешанного числа:$\frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$

Ответ: $3\frac{1}{3}$

10. Вычислите $\sqrt{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x d x$:

A) 2;

B) 3;

C) 1;

D) 4.

Для вычисления значения выражения $\sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos x \, dx$ необходимо сначала вычислить определенный интеграл.

Первообразной для подынтегральной функции $f(x) = \cos x$ является функция $F(x) = \sin x$.

Далее применим формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла:$ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) $

Подставляя наши пределы интегрирования $a=0$ и $b=\frac{\pi}{4}$, получаем:$ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos x \, dx = [\sin x]_0^{\frac{\pi}{4}} = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin(0) $

Вычислим значения тригонометрических функций в полученном выражении:$ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ \sin(0) = 0 $

Таким образом, значение интеграла равно:$ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos x \, dx = \frac{\sqrt{2}}{2} - 0 = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Теперь умножим полученный результат на коэффициент $\sqrt{2}$, стоящий перед знаком интеграла в исходном выражении:$ \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = \frac{2}{2} = 1 $

Полученное значение равно 1, что соответствует варианту ответа C).

Ответ: 1.

11. При каком значении $b$ имеет место равенство $\int_1^b 8dx = 8$:
A) 4; B) 8; C) 2; D) 5?

Для решения задачи необходимо вычислить определенный интеграл и решить полученное уравнение относительно b.

1. Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 8$. Первообразная будет $F(x) = 8x$.

2. Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла: $\int_a^c f(x)dx = F(c) - F(a)$.

Подставим наши значения:

$\int_1^b 8dx = [8x]_1^b = 8 \cdot b - 8 \cdot 1 = 8b - 8$

3. Согласно условию, данный интеграл равен 8. Составим уравнение:

$8b - 8 = 8$

4. Решим это уравнение, чтобы найти b.

Прибавим 8 к обеим частям уравнения:

$8b = 8 + 8$

$8b = 16$

Разделим обе части уравнения на 8:

$b = \frac{16}{8}$

$b = 2$

Значение $b = 2$ соответствует варианту ответа C).

Ответ: 2

12. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 - 4x + 5$

и $y = 5$:

A) $10\frac{2}{3}$;

B) $\frac{3}{32}$;

C) 11;

D) 10.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 - 4x + 5$ и $y = 5$, в первую очередь необходимо найти пределы интегрирования. Для этого найдем абсциссы точек пересечения графиков данных функций, приравняв их уравнения:

$x^2 - 4x + 5 = 5$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 4x + 5 - 5 = 0$

$x^2 - 4x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 4) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Это и будут наши пределы интегрирования, от $a = 0$ до $b = 4$.

Площадь $S$ фигуры, заключенной между двумя кривыми $y = f(x)$ и $y = g(x)$, где $f(x) \ge g(x)$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле:

$S = \int_a^b (f(x) - g(x)) dx$

В нашем случае, на интервале $(0, 4)$ парабола $y = x^2 - 4x + 5$ находится ниже прямой $y = 5$. Чтобы в этом убедиться, можно взять любую точку из этого интервала, например $x = 2$. Получим $y = 2^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$, что меньше 5. Таким образом, верхняя функция $f(x) = 5$, а нижняя $g(x) = x^2 - 4x + 5$.

Подставим наши данные в формулу площади:

$S = \int_0^4 (5 - (x^2 - 4x + 5)) dx$

Упростим подынтегральное выражение:

$S = \int_0^4 (5 - x^2 + 4x - 5) dx = \int_0^4 (-x^2 + 4x) dx$

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница. Сначала найдем первообразную для функции $-x^2 + 4x$:

$F(x) = \int (-x^2 + 4x) dx = -\frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} = -\frac{x^3}{3} + 2x^2$

Теперь вычислим значение интеграла:

$S = F(4) - F(0) = \left( -\frac{4^3}{3} + 2 \cdot 4^2 \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + 2 \cdot 0^2 \right)$

$S = \left( -\frac{64}{3} + 2 \cdot 16 \right) - 0$

$S = -\frac{64}{3} + 32$

Приведем к общему знаменателю:

$S = -\frac{64}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} = -\frac{64}{3} + \frac{96}{3} = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3}$

Чтобы сравнить с вариантами ответа, переведем неправильную дробь в смешанное число:

$S = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3}$

Этот результат соответствует варианту ответа A.

Ответ: A) $10\frac{2}{3}$

13. Вычислите площадь фигуры, заштрихованной на рисунке:

A) 18; B) 9; C) 27; D) 54.

Площадь заштрихованной фигуры можно найти как сумму площадей двух фигур, на которые она разделена вертикальной прямой $x=3$.

Первая фигура (слева) представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции $y=x^2$, осью абсцисс и прямыми $x=0$ и $x=3$. Её площадь $S_1$ вычисляется с помощью определенного интеграла:

$S_1 = \int_{0}^{3} x^2 \,dx$

Используя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$S_1 = [\frac{x^3}{3}]_{0}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{27}{3} - 0 = 9$.

Вторая фигура (справа) ограничена прямой $y = -4.5x + 22.5$, осью абсцисс и прямой $x=3$. Эта фигура является прямоугольным треугольником.

Сначала найдем точку пересечения прямой с осью абсцисс (осью Ox), приравняв $y$ к нулю:

$0 = -4.5x + 22.5$

$4.5x = 22.5$

$x = \frac{22.5}{4.5} = 5$.

Основание треугольника расположено на оси Ox и его длина равна разности абсцисс: $5 - 3 = 2$.

Высота треугольника равна значению функции $y = -4.5x + 22.5$ в точке $x=3$:

$y(3) = -4.5 \cdot 3 + 22.5 = -13.5 + 22.5 = 9$.

Площадь треугольника $S_2$ вычисляется по формуле:

$S_2 = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 9 = 9$.

Общая площадь заштрихованной фигуры $S$ равна сумме площадей $S_1$ и $S_2$:

$S = S_1 + S_2 = 9 + 9 = 18$.

Ответ: 18

14. Вычислите $ \int_0^1 \frac{x^3 + 1}{x^2 - x + 1} dx $:

A) 8;

B) 12;

C) 6;

D) -4.

Для вычисления определенного интеграла $ \int_{0}^{4} \frac{x^3 + 1}{x^2 - x + 1} dx $ сначала упростим подынтегральное выражение.

Числитель дроби $ x^3 + 1 $ можно разложить на множители, используя формулу суммы кубов: $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) $.

Применяя эту формулу, получаем:$ x^3 + 1 = x^3 + 1^3 = (x+1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) = (x+1)(x^2 - x + 1) $.

Теперь подставим это выражение обратно в интеграл:$ \int_{0}^{4} \frac{(x+1)(x^2 - x + 1)}{x^2 - x + 1} dx $.

Поскольку выражение в знаменателе $ x^2 - x + 1 $ не равно нулю ни при каких действительных значениях $ x $ (дискриминант $ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0 $), мы можем сократить дробь.

Интеграл упрощается до:$ \int_{0}^{4} (x+1) dx $.

Теперь найдем первообразную для функции $ f(x) = x+1 $. Первообразная равна $ F(x) = \frac{x^2}{2} + x $.

Далее применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $:$ \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{4} = (\frac{4^2}{2} + 4) - (\frac{0^2}{2} + 0) = (\frac{16}{2} + 4) - 0 = (8 + 4) - 0 = 12 $.

Ответ: 12

15. Найдите $\int_0^{\frac{\pi}{2}} 14 \sin x dx$:

A) -14; B) 1; C) 14; D) 0.

Для решения данного определенного интеграла $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 14 \sin x \,dx $ воспользуемся его свойствами и формулой Ньютона-Лейбница.

1. Сначала вынесем постоянный множитель 14 за знак интеграла:

$ 14 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \,dx $

2. Далее найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = \sin x $. Первообразная для $ \sin x $ — это $ F(x) = -\cos x $.

3. Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a) $ для вычисления значения интеграла:

$ 14 \cdot [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 14 \cdot \left( \left(-\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) - (-\cos(0)) \right) $

4. Подставим известные значения тригонометрических функций: $ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $ и $ \cos(0) = 1 $.

$ 14 \cdot (-(0) - (-1)) = 14 \cdot (0 + 1) $

5. Выполним окончательное вычисление:

$ 14 \cdot 1 = 14 $

Ответ: 14

16. Вычислите $\int_{0}^{6} \frac{x^4 - 1}{x + 1} dx$:

A) 212;

B) 264;

C) 210;

D) 320.

Для вычисления определенного интеграла $ \int_{0}^{6} \frac{x^4 - 1}{x + 1} dx $ сначала упростим подынтегральное выражение.

Числитель $ x^4 - 1 $ можно разложить на множители как разность квадратов:

$ x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) $.

Далее, выражение $ x^2 - 1 $ также является разностью квадратов:

$ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) $.

Таким образом, числитель равен $ (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) $.

Теперь подынтегральная дробь принимает вид:

$ \frac{(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)}{x + 1} $.

Поскольку интегрирование производится на отрезке от 0 до 6, на котором знаменатель $ x+1 $ не обращается в ноль, мы можем сократить дробь на $ (x+1) $:

$ (x - 1)(x^2 + 1) $.

Раскроем скобки, чтобы получить многочлен:

$ (x - 1)(x^2 + 1) = x \cdot x^2 + x \cdot 1 - 1 \cdot x^2 - 1 \cdot 1 = x^3 + x - x^2 - 1 = x^3 - x^2 + x - 1 $.

Теперь задача сводится к вычислению интеграла от многочлена:

$ \int_{0}^{6} (x^3 - x^2 + x - 1) dx $.

Найдем первообразную подынтегральной функции, используя правило интегрирования степенной функции $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} $:

$ \int (x^3 - x^2 + x - 1) dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - x $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $:

$ \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - x \right]_{0}^{6} = \left(\frac{6^4}{4} - \frac{6^3}{3} + \frac{6^2}{2} - 6\right) - \left(\frac{0^4}{4} - \frac{0^3}{3} + \frac{0^2}{2} - 0\right) $.

Вычислим значение выражения в скобках для верхнего предела интегрирования $ x=6 $:

$ \frac{1296}{4} - \frac{216}{3} + \frac{36}{2} - 6 = 324 - 72 + 18 - 6 $.

$ 324 - 72 + 18 - 6 = 252 + 18 - 6 = 270 - 6 = 264 $.

Значение выражения для нижнего предела интегрирования $ x=0 $ равно 0.

Следовательно, значение определенного интеграла равно:

$ 264 - 0 = 264 $.

Ответ: 264