Страница 46 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Какие геометрические задачи решаются с помощью определенного интеграла?

2. Почему применение определенного интеграла является одним из основных способов вычисления площади фигуры, ограниченной не только отрезками прямых, но и кривыми линиями?

3. Почему вывод формул объемов некоторых многогранников и тел вращения (пирамиды, усеченной пирамиды, конуса, усеченного конуса) с помощью определенного интеграла является более рациональным?

4. В чем заключается смысл решения физических задач на движение через определенный интеграл?

1. Какие геометрические задачи решаются с помощью определенного интеграла?

Определенный интеграл является мощным инструментом математического анализа, который позволяет решать широкий круг геометрических задач, особенно тех, которые связаны с криволинейными фигурами и телами. Основные типы таких задач включают:

1. Вычисление площади плоской фигуры. Самое известное применение — это нахождение площади криволинейной трапеции, то есть фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$. Площадь вычисляется по формуле $S = \int_a^b f(x) \,dx$. Также интеграл позволяет находить площадь фигуры, ограниченной графиками нескольких функций.

2. Вычисление длины дуги кривой. Если кривая задана функцией $y = f(x)$ на отрезке $[a, b]$, то длина ее дуги вычисляется как $L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} \,dx$.

3. Вычисление объема тела вращения. Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой $y = f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=a, x=b$, вращается вокруг оси $Ox$, то объем полученного тела вращения равен $V = \pi \int_a^b f^2(x) \,dx$.

4. Вычисление объема произвольного тела по известным площадям параллельных сечений. Если тело расположено вдоль оси $Ox$ от $a$ до $b$, и площадь его сечения плоскостью, перпендикулярной оси $Ox$ в точке $x$, равна $S(x)$, то объем тела равен $V = \int_a^b S(x) \,dx$.

5. Вычисление площади поверхности вращения. Если дуга кривой $y = f(x)$ от $x=a$ до $x=b$ вращается вокруг оси $Ox$, то площадь образованной поверхности вычисляется по формуле $S_{пов} = 2\pi \int_a^b f(x) \sqrt{1 + (f'(x))^2} \,dx$.

Ответ: С помощью определенного интеграла решают задачи нахождения площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов тел (в том числе тел вращения) и площадей поверхностей вращения.

2. Почему применение определенного интеграла является одним из основных способов вычисления площади фигуры, ограниченной не только отрезками прямых, но и кривыми линиями?

Применение определенного интеграла является основным способом вычисления площадей криволинейных фигур по фундаментальной причине, заложенной в самом определении интеграла. Стандартные геометрические формулы позволяют легко находить площади многоугольников, разбивая их на простые фигуры (треугольники, прямоугольники). Однако эти методы не работают для фигур, у которых хотя бы одна граница является кривой линией.

Идея интегрального исчисления состоит в следующем:

1. Метод разбиения и суммирования. Криволинейная фигура (например, криволинейная трапеция) разбивается на большое количество $n$ очень узких вертикальных полосок. Каждую такую полоску можно с высокой точностью аппроксимировать прямоугольником, основание которого равно $\Delta x$, а высота — значению функции $f(x_i)$ в некоторой точке $x_i$ внутри этой полоски.

2. Интегральная сумма. Площадь всей фигуры приближенно равна сумме площадей всех этих прямоугольников: $S \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x$. Эта сумма называется интегральной суммой.

3. Переход к пределу. Чтобы получить точное значение площади, нужно устремить ширину полосок к нулю ($\Delta x \to 0$), а их количество — к бесконечности ($n \to \infty$). Предел такой интегральной суммы и есть определенный интеграл: $S = \lim_{\Delta x \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x = \int_a^b f(x) \,dx$.

Таким образом, определенный интеграл — это, по своей сути, операция "бесконечного суммирования" бесконечно малых площадей. Этот подход является универсальным и позволяет находить точные значения площадей для огромного класса фигур, ограниченных непрерывными (и не только) кривыми, там, где элементарная геометрия бессильна.

Ответ: Потому что определенный интеграл по своему определению является пределом суммы площадей бесконечно малых прямоугольников, на которые можно разбить любую криволинейную фигуру, что позволяет точно вычислить ее площадь.

3. Почему вывод формул объемов некоторых многогранников и тел вращения (пирамиды, усеченной пирамиды, конуса, усеченного конуса) с помощью определенного интеграла является более рациональным?

Вывод формул объемов через определенный интеграл является более рациональным, так как он предлагает единый, универсальный и логически строгий метод, применимый к широкому классу тел. В отличие от него, методы элементарной геометрии часто требуют для каждой фигуры своего уникального, порой весьма нетривиального подхода.

Рациональность интегрального подхода заключается в следующем:

1. Универсальный принцип (метод сечений). В основе лежит один и тот же принцип: тело мысленно "нарезается" на бесконечно тонкие параллельные слои (сечения). Объем каждого слоя равен площади его основания $S(x)$, умноженной на его бесконечно малую толщину $dx$. Общий объем тела получается путем "суммирования" (интегрирования) объемов всех этих слоев: $V = \int_a^b S(x) \,dx$.

2. Систематичность. Для нахождения объема любой из перечисленных фигур (пирамиды, конуса и т.д.) достаточно выполнить одну и ту же последовательность действий: выбрать ось, найти зависимость площади поперечного сечения $S(x)$ от координаты $x$ и вычислить полученный интеграл. Например, для пирамиды и конуса площадь сечения $S(x)$ изменяется пропорционально квадрату расстояния от вершины, то есть $S(x) = kx^2$. Интегрирование этой простой степенной функции и приводит к известному коэффициенту $\frac{1}{3}$ в формуле объема $V = \frac{1}{3} S_{осн} H$.

3. Строгость и обобщаемость. Интегральный метод легко обобщается на гораздо более сложные тела, для которых в элементарной геометрии вообще нет методов вывода формул. Вывод же формул через интеграл является строгим с точки зрения математического анализа и не требует сложных геометрических построений или привлечения аксиоматических принципов, таких как принцип Кавальери (хотя сам интегральный метод его по сути и реализует в более мощной форме).

В то время как геометрические доказательства, например, формулы объема пирамиды, требуют элегантных, но "штучных" достроений (например, достраивание призмы), интегральный подход сводит задачу к стандартному алгоритму, что делает его более мощным и рациональным инструментом.

Ответ: Потому что интегральный подход предлагает единый, универсальный и алгоритмический метод (метод сечений) для вывода этих формул, в то время как чисто геометрические методы требуют уникальных и часто сложных построений для каждой отдельной фигуры.

4. В чем заключается смысл решения физических задач на движение через определенный интеграл?

Смысл решения физических задач на движение через определенный интеграл заключается в переходе от мгновенных характеристик движения (скорости, ускорения) к итоговым, накопленным за промежуток времени величинам (пути, изменению скорости). Интегрирование в физике — это процесс суммирования непрерывно изменяющейся величины.

Рассмотрим основные взаимосвязи в кинематике:

- Мгновенная скорость $v(t)$ есть производная от координаты (пути) $s(t)$ по времени: $v(t) = s'(t) = \frac{ds}{dt}$.

- Мгновенное ускорение $a(t)$ есть производная от скорости $v(t)$ по времени: $a(t) = v'(t) = \frac{dv}{dt}$.

Интегрирование является обратной операцией по отношению к дифференцированию. Поэтому:

1. Нахождение пути по известной скорости. Если известна зависимость скорости от времени $v(t)$, то путь $S$, пройденный телом за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$, равен определенному интегралу от скорости по времени: $S = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \,dt$.

Физический смысл: мы разбиваем весь промежуток времени на бесконечно малые интервалы $dt$. За каждый такой интервал тело проходит бесконечно малое расстояние $ds = v(t) \cdot dt$. Определенный интеграл суммирует все эти элементарные перемещения, давая в результате общий пройденный путь. Геометрически это площадь под графиком зависимости скорости от времени $v(t)$.

2. Нахождение изменения скорости по известному ускорению. Аналогично, если известна зависимость ускорения от времени $a(t)$, то изменение скорости $\Delta v$ за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$ равно: $\Delta v = v(t_2) - v(t_1) = \int_{t_1}^{t_2} a(t) \,dt$.

Этот подход становится незаменимым при неравномерном движении, когда скорость и ускорение не являются постоянными величинами. Если, например, ускорение меняется по сложному закону, найти скорость и путь с помощью простых школьных формул невозможно, и только интегрирование позволяет решить задачу.

Ответ: Смысл заключается в том, чтобы найти итоговую величину (пройденный путь или изменение скорости) путем суммирования ее бесконечно малых приращений за определенный промежуток времени. Интеграл позволяет перейти от мгновенной скорости к общему пути или от мгновенного ускорения к общему изменению скорости, что особенно важно при неравномерном движении.

5.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: 1) $y = 2x + 2$, $y = 0$, $x = 2$; 2) $y = x + 2$, $y = 0$, $x = 2$ (ответ проверьте вычислением по формуле из геометрии).

1) $y = 2x + 2, y = 0, x = 2$

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, мы будем использовать определенный интеграл. Фигура ограничена сверху функцией $y = 2x + 2$, снизу осью абсцисс ($y = 0$), а справа прямой $x = 2$. Левую границу интегрирования найдем, определив точку пересечения прямой $y = 2x + 2$ с осью $y=0$.

$2x + 2 = 0 \implies 2x = -2 \implies x = -1$

Таким образом, площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от функции $y = 2x + 2$ в пределах от $-1$ до $2$.

$S = \int_{-1}^{2} (2x + 2) dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции:

$F(x) = \int (2x + 2) dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 2x = x^2 + 2x$

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = [x^2 + 2x]_{-1}^{2} = (2^2 + 2 \cdot 2) - ((-1)^2 + 2 \cdot (-1)) = (4 + 4) - (1 - 2) = 8 - (-1) = 9$

Проверка вычислением по формуле из геометрии:

Фигура, ограниченная линиями $y = 2x + 2$, $y = 0$ и $x = 2$, является прямоугольным треугольником. Найдем его вершины:

• Точка пересечения $y = 2x + 2$ и $y = 0$: $(-1, 0)$
• Точка пересечения $y = 0$ и $x = 2$: $(2, 0)$
• Точка пересечения $y = 2x + 2$ и $x = 2$: $y = 2(2) + 2 = 6$, точка $(2, 6)$

Основание треугольника лежит на оси Ox и его длина равна $2 - (-1) = 3$.

Высота треугольника — это катет, параллельный оси Oy, его длина равна ординате точки $(2, 6)$, то есть $6$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 9$

Результаты, полученные двумя способами, совпадают.

Ответ: 9

2) $y = x + 2, y = 0, x = 2$

Действуем аналогично первому случаю. Фигура ограничена сверху функцией $y = x + 2$, снизу осью $y = 0$, справа прямой $x = 2$. Найдем левую границу интегрирования из условия пересечения $y = x + 2$ с осью $y=0$.

$x + 2 = 0 \implies x = -2$

Вычисляем площадь как определенный интеграл от функции $y = x + 2$ в пределах от $-2$ до $2$.

$S = \int_{-2}^{2} (x + 2) dx$

Найдем первообразную:

$F(x) = \int (x + 2) dx = \frac{x^2}{2} + 2x$

Вычислим определенный интеграл:

$S = [\frac{x^2}{2} + 2x]_{-2}^{2} = (\frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2) - (\frac{(-2)^2}{2} + 2 \cdot (-2)) = (\frac{4}{2} + 4) - (\frac{4}{2} - 4) = (2 + 4) - (2 - 4) = 6 - (-2) = 8$

Проверка вычислением по формуле из геометрии:

Данная фигура также является прямоугольным треугольником. Его вершины:

• Точка пересечения $y = x + 2$ и $y = 0$: $(-2, 0)$
• Точка пересечения $y = 0$ и $x = 2$: $(2, 0)$
• Точка пересечения $y = x + 2$ и $x = 2$: $y = 2 + 2 = 4$, точка $(2, 4)$

Длина основания треугольника, лежащего на оси Ox, равна $2 - (-2) = 4$.

Высота треугольника равна ординате точки $(2, 4)$, то есть $4$.

Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$

Результаты, полученные интегральным исчислением и геометрически, совпадают.

Ответ: 8

5.2. Чему равна площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = (x - 2)(2x - 3)$, $y = 0$;

2) $y = (3x + 2)(x - 1)$, $y = 0?$

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = (x - 2)(2x - 3)$ и $y = 0$, необходимо вычислить определенный интеграл. Сначала найдем пределы интегрирования. Для этого приравняем уравнения линий, чтобы найти их точки пересечения: $(x - 2)(2x - 3) = 0$. Корнями этого уравнения являются $x_1 = 2$ и $x_2 = \frac{3}{2} = 1.5$. Это и будут наши пределы интегрирования.

Функция $y = (x - 2)(2x - 3) = 2x^2 - 7x + 6$ является параболой с ветвями, направленными вверх. На интервале $(1.5, 2)$ значения функции отрицательны, поэтому фигура находится под осью Ox.

Площадь фигуры $S$ вычисляется по формуле криволинейной трапеции: $S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$.

В нашем случае: $S = \int_{1.5}^{2} |2x^2 - 7x + 6| dx$. Поскольку на данном интервале функция отрицательна, $S = \int_{1.5}^{2} -(2x^2 - 7x + 6) dx = \int_{1.5}^{2} (-2x^2 + 7x - 6) dx$.

Для удобства вычислений можно вычислить интеграл от исходной функции, а затем взять его модуль.

$S = |\int_{1.5}^{2} (2x^2 - 7x + 6) dx|$.

Найдем первообразную для функции $f(x) = 2x^2 - 7x + 6$: $F(x) = \int (2x^2 - 7x + 6)dx = \frac{2x^3}{3} - \frac{7x^2}{2} + 6x$.

Теперь вычислим значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{1.5}^{2} (2x^2 - 7x + 6)dx = F(2) - F(1.5) = \left(\frac{2 \cdot 2^3}{3} - \frac{7 \cdot 2^2}{2} + 6 \cdot 2\right) - \left(\frac{2 \cdot (1.5)^3}{3} - \frac{7 \cdot (1.5)^2}{2} + 6 \cdot 1.5\right) = \left(\frac{16}{3} - 14 + 12\right) - \left(\frac{2 \cdot (3/2)^3}{3} - \frac{7 \cdot (3/2)^2}{2} + 9\right) = \left(\frac{16}{3} - 2\right) - \left(\frac{2 \cdot 27/8}{3} - \frac{7 \cdot 9/4}{2} + 9\right) = \frac{10}{3} - \left(\frac{9}{4} - \frac{63}{8} + 9\right) = \frac{10}{3} - \left(\frac{18-63+72}{8}\right) = \frac{10}{3} - \frac{27}{8} = \frac{80 - 81}{24} = -\frac{1}{24}$.

Площадь является абсолютным значением этого результата: $S = |-\frac{1}{24}| = \frac{1}{24}$.

Ответ: $\frac{1}{24}$.

2) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = (3x + 2)(x - 1)$ и $y = 0$, поступим аналогично предыдущему пункту.

Сначала найдем точки пересечения графика функции с осью Ox, решив уравнение $(3x + 2)(x - 1) = 0$. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -\frac{2}{3}$. Это пределы интегрирования.

Раскроем скобки: $y = 3x^2 - 3x + 2x - 2 = 3x^2 - x - 2$. Это парабола с ветвями, направленными вверх. На интервале $(-\frac{2}{3}, 1)$ значения функции отрицательны, следовательно, фигура расположена под осью Ox.

Площадь $S$ вычисляется как абсолютное значение определенного интеграла: $S = |\int_{-2/3}^{1} (3x^2 - x - 2) dx|$.

Найдем первообразную для $f(x) = 3x^2 - x - 2$: $F(x) = \int (3x^2 - x - 2)dx = \frac{3x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x = x^3 - \frac{x^2}{2} - 2x$.

Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{-2/3}^{1} (3x^2 - x - 2)dx = F(1) - F(-2/3) = \left(1^3 - \frac{1^2}{2} - 2 \cdot 1\right) - \left((-\frac{2}{3})^3 - \frac{(-\frac{2}{3})^2}{2} - 2(-\frac{2}{3})\right) = \left(1 - \frac{1}{2} - 2\right) - \left(-\frac{8}{27} - \frac{4/9}{2} + \frac{4}{3}\right) = \left(-\frac{3}{2}\right) - \left(-\frac{8}{27} - \frac{2}{9} + \frac{4}{3}\right) = -\frac{3}{2} - \left(\frac{-8 - 6 + 36}{27}\right) = -\frac{3}{2} - \frac{22}{27} = \frac{-81 - 44}{54} = -\frac{125}{54}$.

Площадь равна модулю полученного значения: $S = |-\frac{125}{54}| = \frac{125}{54}$.

Ответ: $\frac{125}{54}$.