Страница 48 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5.13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

1) $y = x^2$ и $y = 3 - 2x$;

2) $y = x^2$ и $y = 2x - x^2$;

3) $y = x^2 + 1$ и $y = -x^2 + 3$;

4) $y = 2x^2 + 1$ и $y = x + 2$, $y = 1,5$.

1) y = x² и y = 3 - 2x

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций, сначала найдем точки их пересечения. Для этого приравняем правые части уравнений:

$x^2 = 3 - 2x$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корнями являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$. Это будут пределы интегрирования.

Теперь определим, какая из функций принимает большие значения на интервале $(-3, 1)$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $x=0$:

Для $y = x^2$: $y(0) = 0^2 = 0$.

Для $y = 3 - 2x$: $y(0) = 3 - 2(0) = 3$.

Поскольку $3 > 0$, на интервале $(-3, 1)$ график функции $y = 3 - 2x$ находится выше графика $y = x^2$.

Площадь фигуры равна интегралу от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{-3}^{1} ((3 - 2x) - x^2) dx = \int_{-3}^{1} (-x^2 - 2x + 3) dx$

Вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} - \frac{2x^2}{2} + 3x \right) \right|_{-3}^{1} = \left. \left( -\frac{x^3}{3} - x^2 + 3x \right) \right|_{-3}^{1}$

$S = \left( -\frac{1^3}{3} - 1^2 + 3(1) \right) - \left( -\frac{(-3)^3}{3} - (-3)^2 + 3(-3) \right)$

$S = \left( -\frac{1}{3} - 1 + 3 \right) - \left( -(-\frac{27}{3}) - 9 - 9 \right)$

$S = \left( 2 - \frac{1}{3} \right) - (9 - 9 - 9) = \frac{5}{3} - (-9) = \frac{5}{3} + 9 = \frac{5 + 27}{3} = \frac{32}{3}$.

Ответ: $\frac{32}{3}$.

2) y = x² и y = 2x - x²

Найдем точки пересечения графиков:

$x^2 = 2x - x^2$

$2x^2 - 2x = 0$

$2x(x - 1) = 0$

Точки пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Это пределы интегрирования.

Определим, какая функция является верхней на интервале $(0, 1)$. Возьмем тестовую точку $x=0.5$:

Для $y = x^2$: $y(0.5) = (0.5)^2 = 0.25$.

Для $y = 2x - x^2$: $y(0.5) = 2(0.5) - (0.5)^2 = 1 - 0.25 = 0.75$.

Так как $0.75 > 0.25$, функция $y = 2x - x^2$ является верхней.

Вычислим площадь:

$S = \int_{0}^{1} ((2x - x^2) - x^2) dx = \int_{0}^{1} (2x - 2x^2) dx$

$S = \left. \left( \frac{2x^2}{2} - \frac{2x^3}{3} \right) \right|_{0}^{1} = \left. \left( x^2 - \frac{2x^3}{3} \right) \right|_{0}^{1}$

$S = \left( 1^2 - \frac{2 \cdot 1^3}{3} \right) - \left( 0^2 - \frac{2 \cdot 0^3}{3} \right) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

3) y = x² + 1 и y = -x² + 3

Найдем точки пересечения графиков:

$x^2 + 1 = -x^2 + 3$

$2x^2 = 2$

$x^2 = 1 \implies x_1 = -1, x_2 = 1$.

Определим верхнюю функцию на интервале $(-1, 1)$, взяв точку $x=0$:

Для $y = x^2 + 1$: $y(0) = 0^2 + 1 = 1$.

Для $y = -x^2 + 3$: $y(0) = -0^2 + 3 = 3$.

Так как $3 > 1$, функция $y = -x^2 + 3$ является верхней.

Вычислим площадь:

$S = \int_{-1}^{1} ((-x^2 + 3) - (x^2 + 1)) dx = \int_{-1}^{1} (-2x^2 + 2) dx$

$S = \left. \left( - \frac{2x^3}{3} + 2x \right) \right|_{-1}^{1}$

$S = \left( - \frac{2 \cdot 1^3}{3} + 2(1) \right) - \left( - \frac{2(-1)^3}{3} + 2(-1) \right)$

$S = \left( -\frac{2}{3} + 2 \right) - \left( \frac{2}{3} - 2 \right) = \frac{4}{3} - \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$.

4) y = 2x² + 1 и y = x + 2, y = 1,5

Данная фигура ограничена тремя линиями. Найдем точки их взаимного пересечения.

1. $y = 2x^2 + 1$ и $y = x + 2$: $2x^2 - x - 1 = 0 \implies x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(2)(-1)}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}$. Точки $x_1 = -0.5$ и $x_2 = 1$.

2. $y = 2x^2 + 1$ и $y = 1.5$: $2x^2 = 0.5 \implies x^2 = 0.25$. Точки $x = -0.5$ и $x = 0.5$.

3. $y = x + 2$ и $y = 1.5$: $x = -0.5$.

Анализ точек пересечения показывает, что фигура ограничена сверху прямой $y=x+2$. Нижняя граница является кусочной: на отрезке $[-0.5, 0.5]$ это прямая $y=1.5$, а на отрезке $[0.5, 1]$ это парабола $y=2x^2+1$.

Поэтому площадь вычисляется как сумма двух интегралов:

$S = S_1 + S_2 = \int_{-0.5}^{0.5} ((x+2) - 1.5) dx + \int_{0.5}^{1} ((x+2) - (2x^2+1)) dx$

$S = \int_{-0.5}^{0.5} (x+0.5) dx + \int_{0.5}^{1} (-2x^2+x+1) dx$

Вычислим первый интеграл:

$S_1 = \left. \left( \frac{x^2}{2} + 0.5x \right) \right|_{-0.5}^{0.5} = \left( \frac{(0.5)^2}{2} + 0.5(0.5) \right) - \left( \frac{(-0.5)^2}{2} + 0.5(-0.5) \right)$

$S_1 = \left( \frac{0.25}{2} + 0.25 \right) - \left( \frac{0.25}{2} - 0.25 \right) = (0.125 + 0.25) - (0.125 - 0.25) = 0.375 - (-0.125) = 0.5 = \frac{1}{2}$.

Вычислим второй интеграл:

$S_2 = \left. \left( -\frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x \right) \right|_{0.5}^{1}$

$S_2 = \left( -\frac{2 \cdot 1^3}{3} + \frac{1^2}{2} + 1 \right) - \left( -\frac{2(0.5)^3}{3} + \frac{(0.5)^2}{2} + 0.5 \right)$

$S_2 = \left( -\frac{2}{3} + \frac{1}{2} + 1 \right) - \left( -\frac{2(0.125)}{3} + \frac{0.25}{2} + 0.5 \right) = \left(\frac{-4+3+6}{6}\right) - \left( -\frac{0.25}{3} + 0.125 + 0.5 \right)$

$S_2 = \frac{5}{6} - \left( -\frac{1}{12} + \frac{1}{8} + \frac{4}{8} \right) = \frac{5}{6} - \left( \frac{-2+3+12}{24} \right) = \frac{5}{6} - \frac{13}{24} = \frac{20 - 13}{24} = \frac{7}{24}$.

Общая площадь равна сумме площадей:

$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{2} + \frac{7}{24} = \frac{12}{24} + \frac{7}{24} = \frac{19}{24}$.

Ответ: $\frac{19}{24}$.

5.14. Найдите объем фигуры вращения гиперболы $y = \frac{1}{x}$ от $x = 1$ до $x = 3$ вокруг оси абсцисс.

Для нахождения объема тела, образованного вращением криволинейной трапеции (фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$) вокруг оси абсцисс, используется формула:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

В условиях задачи задана функция $y = \frac{1}{x}$, которая является ветвью гиперболы. Фигура вращения образуется на отрезке от $x = 1$ до $x = 3$.

Таким образом, имеем:

$f(x) = \frac{1}{x}$

$a = 1$

$b = 3$

Подставим эти значения в формулу для объема:

$V = \pi \int_{1}^{3} \left(\frac{1}{x}\right)^2 dx$

Вычислим полученный определенный интеграл. Сначала упростим подынтегральное выражение:

$V = \pi \int_{1}^{3} \frac{1}{x^2} dx = \pi \int_{1}^{3} x^{-2} dx$

Теперь найдем первообразную для функции $x^{-2}$ по стандартной формуле $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$:

$\int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$

Применим формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла:

$V = \pi \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{3} = \pi \left( \left(-\frac{1}{3}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) \right)$

Выполним финальные вычисления:

$V = \pi \left( -\frac{1}{3} + 1 \right) = \pi \left( \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \right) = \pi \cdot \frac{2}{3} = \frac{2\pi}{3}$

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$

5.15. Найдите путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени от $t = 0$ до $t = 4$, если скорость ее движения меняется по закону: $v = Rt + a\sqrt{t}$.

Путь, пройденный материальной точкой, является определенным интегралом от ее скорости по времени. Чтобы найти путь $S$, пройденный точкой за промежуток времени от $t_1 = 0$ до $t_2 = 4$, необходимо вычислить интеграл от функции скорости $v(t) = Rt + a\sqrt{t}$ по переменной $t$ в указанных пределах.

Запишем формулу для вычисления пути:

$S = \int_{0}^{4} v(t) \,dt = \int_{0}^{4} (Rt + a\sqrt{t}) \,dt$

Используя свойство аддитивности интеграла, разобьем его на два:

$S = \int_{0}^{4} Rt \,dt + \int_{0}^{4} a\sqrt{t} \,dt$

Теперь найдем первообразные для каждой подынтегральной функции. Для удобства представим $\sqrt{t}$ как $t^{1/2}$. Используем табличный интеграл $\int t^n \,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$.

$S = \left[ R\frac{t^2}{2} \right]_{0}^{4} + \left[ a\frac{t^{1/2+1}}{1/2+1} \right]_{0}^{4} = \left[ \frac{R}{2}t^2 \right]_{0}^{4} + \left[ a\frac{t^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{4} = \left[ \frac{R}{2}t^2 + \frac{2a}{3}t^{3/2} \right]_{0}^{4}$

Применим формулу Ньютона-Лейбница, подставив верхний и нижний пределы интегрирования:

$S = \left( \frac{R}{2}(4)^2 + \frac{2a}{3}(4)^{3/2} \right) - \left( \frac{R}{2}(0)^2 + \frac{2a}{3}(0)^{3/2} \right)$

Вычислим значение выражения:

$S = \left( \frac{R}{2} \cdot 16 + \frac{2a}{3} \cdot (\sqrt{4})^3 \right) - (0 + 0)$

$S = 8R + \frac{2a}{3} \cdot (2)^3 = 8R + \frac{2a}{3} \cdot 8 = 8R + \frac{16a}{3}$

Ответ: $S = 8R + \frac{16a}{3}$.

5.16. Изобразите фигуру, площадь которой равна значению определенного интеграла: 1) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sin 2x \,dx$; 2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos 3x \,dx$; 3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin^2 x \,dx$.

1) Геометрический смысл определенного интеграла $\int_{a}^{b} f(x) \,dx$ для неотрицательной функции $f(x)$ — это площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x=a$ и $x=b$.

В данном случае $f(x) = \sin(2x)$, $a = \frac{\pi}{6}$, $b = \frac{\pi}{3}$.

Проверим знак функции на отрезке $[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$. Если $x \in [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$, то $2x \in [\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}]$. В этом интервале $\sin(2x) \ge 0$.

Следовательно, интеграл равен площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = \sin(2x)$, осью Ox и вертикальными прямыми $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{3}$.

Эта фигура представляет собой криволинейную трапецию, у которой:

• нижнее основание лежит на оси Ox от точки $x = \frac{\pi}{6}$ до $x = \frac{\pi}{3}$;
• боковые стороны — это вертикальные отрезки, соединяющие ось Ox с графиком функции в точках $x = \frac{\pi}{6}$ (длина отрезка равна $\sin(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$) и $x = \frac{\pi}{3}$ (длина отрезка равна $\sin(2 \cdot \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$);
• верхнее основание — это часть графика функции $y = \sin(2x)$ на отрезке $[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$.

Ответ: Фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную линиями $y = \sin(2x)$, $y = 0$, $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{3}$.

2) Здесь $f(x) = \cos(3x)$, $a = 0$, $b = \frac{\pi}{6}$.

Проверим знак функции на отрезке $[0, \frac{\pi}{6}]$. Если $x \in [0, \frac{\pi}{6}]$, то $3x \in [0, \frac{\pi}{2}]$. В этом интервале $\cos(3x) \ge 0$.

Следовательно, интеграл равен площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = \cos(3x)$, осью Ox (прямая $y=0$) и вертикальными прямыми $x = 0$ (ось Oy) и $x = \frac{\pi}{6}$.

Эта фигура представляет собой криволинейную трапецию, у которой:

• нижнее основание лежит на оси Ox от точки $x=0$ до $x=\frac{\pi}{6}$;
• левая боковая сторона лежит на оси Oy от $y=0$ до точки пересечения с графиком $y=\cos(3 \cdot 0) = 1$;
• правая боковая сторона — это вертикальный отрезок при $x=\frac{\pi}{6}$. Его длина равна $\cos(3 \cdot \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, то есть график пересекает ось Ox в этой точке;
• верхнее основание — это часть графика функции $y = \cos(3x)$ от точки $(0, 1)$ до точки $(\frac{\pi}{6}, 0)$.

Ответ: Фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную линиями $y = \cos(3x)$, $y = 0$, $x = 0$ и $x = \frac{\pi}{6}$.

3) Здесь $f(x) = \sin^2(x)$, $a = 0$, $b = \frac{\pi}{6}$.

Функция $f(x) = \sin^2(x)$ является квадратом действительного числа, поэтому она всегда неотрицательна ($f(x) \ge 0$) для любого $x$.

Следовательно, интеграл равен площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = \sin^2(x)$, осью Ox и вертикальными прямыми $x = 0$ (ось Oy) и $x = \frac{\pi}{6}$.

Эта фигура представляет собой криволинейную трапецию, у которой:

• нижнее основание лежит на оси Ox от точки $x=0$ до $x=\frac{\pi}{6}$;
• левая боковая сторона совпадает с осью Oy, и так как $\sin^2(0)=0$, график начинается в начале координат $(0,0)$;
• правая боковая сторона — это вертикальный отрезок при $x=\frac{\pi}{6}$, соединяющий ось Ox с точкой на графике $(\frac{\pi}{6}, \sin^2(\frac{\pi}{6})) = (\frac{\pi}{6}, (\frac{1}{2})^2) = (\frac{\pi}{6}, \frac{1}{4})$;
• верхнее основание — это часть графика функции $y = \sin^2(x)$ на отрезке $[0, \frac{\pi}{6}]$.

Ответ: Фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную линиями $y = \sin^2(x)$, $y = 0$, $x = 0$ и $x = \frac{\pi}{6}$.

5.17. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^2 - 2x + 1$ и графиком ее производной.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной заданными линиями, выполним следующие шаги:

1. Найдем уравнение графика производной для исходной функции $y = x^2 - 2x + 1$. Обозначим исходную функцию как $f(x) = x^2 - 2x + 1$, а ее производную как $g(x)$.

Производная функции $f(x)$ находится по правилам дифференцирования степенной функции:

$g(x) = f'(x) = (x^2 - 2x + 1)' = 2x^{2-1} - 2x^{1-1} + 0 = 2x - 2$.

Таким образом, нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 - 2x + 1$ и прямой $y = 2x - 2$.

2. Найдем точки пересечения графиков функций $f(x)$ и $g(x)$. Для этого приравняем их выражения:

$x^2 - 2x + 1 = 2x - 2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 2x + 1 + 2 = 0$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Следовательно, корнями являются:

$x_1 = 1$

$x_2 = 3$

Эти значения являются пределами интегрирования для вычисления площади.

3. Вычислим площадь фигуры. Площадь $S$ фигуры, заключенной между кривыми $y_1(x)$ и $y_2(x)$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} |y_2(x) - y_1(x)| dx$

В нашем случае $a = 1$, $b = 3$, $y_1(x) = f(x) = x^2 - 2x + 1$ и $y_2(x) = g(x) = 2x - 2$. Чтобы определить, какая функция больше на интервале $(1, 3)$, выберем пробную точку, например $x = 2$.

$f(2) = 2^2 - 2(2) + 1 = 4 - 4 + 1 = 1$

$g(2) = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$

Поскольку $g(2) > f(2)$, на всем интервале $(1, 3)$ график прямой $g(x)$ лежит выше графика параболы $f(x)$. Поэтому модуль можно опустить и вычислять интеграл от разности $g(x) - f(x)$.

$S = \int_{1}^{3} ( (2x - 2) - (x^2 - 2x + 1) ) dx$

Упростим подынтегральное выражение:

$(2x - 2) - (x^2 - 2x + 1) = 2x - 2 - x^2 + 2x - 1 = -x^2 + 4x - 3$

Теперь вычислим определенный интеграл:

$S = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} - 3x \right]_{1}^{3} = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_{1}^{3}$

Применим формулу Ньютона-Лейбница $F(b) - F(a)$:

$S = \left( -\frac{3^3}{3} + 2(3)^2 - 3(3) \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + 2(1)^2 - 3(1) \right)$

$S = \left( -\frac{27}{3} + 2 \cdot 9 - 9 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 2 - 3 \right)$

$S = (-9 + 18 - 9) - \left( -\frac{1}{3} - 1 \right)$

$S = 0 - \left( -\frac{4}{3} \right)$

$S = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$.

5.18. Функция $F(x)$ является первообразной функции $f(x) = 2x - 4$. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций $f(x)$ и $F(x)$, если известно, что график функции $F(x)$ проходит через точку $A(0; 4)$.

По условию, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x) = 2x - 4$. Найдём общий вид первообразной $F(x)$ путем интегрирования функции $f(x)$:

$F(x) = \int f(x) dx = \int (2x - 4) dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 4x + C = x^2 - 4x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Нам известно, что график функции $F(x)$ проходит через точку $A(0; 4)$. Это означает, что $F(0) = 4$. Подставим эти значения в выражение для $F(x)$, чтобы определить значение константы $C$:

$F(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + C = 4$

Отсюда следует, что $C = 4$.

Таким образом, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = x^2 - 4x + 4$.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $f(x) = 2x-4$ и $F(x) = x^2 - 4x + 4$, сначала определим пределы интегрирования. Для этого найдём абсциссы точек пересечения графиков, решив уравнение $f(x) = F(x)$:

$2x - 4 = x^2 - 4x + 4$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Корни данного квадратного уравнения можно найти по теореме Виета: сумма корней равна 6, произведение равно 8. Следовательно, корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Это и есть пределы интегрирования.

Площадь $S$ фигуры вычисляется как определённый интеграл от модуля разности функций на отрезке $[2, 4]$:

$S = \int_{2}^{4} |F(x) - f(x)| dx = \int_{2}^{4} |(x^2 - 4x + 4) - (2x - 4)| dx = \int_{2}^{4} |x^2 - 6x + 8| dx$.

На интервале $(2, 4)$ график функции $y = x^2 - 6x + 8$ (парабола с ветвями вверх и корнями в точках 2 и 4) находится ниже оси абсцисс, то есть принимает отрицательные значения. Поэтому $|x^2 - 6x + 8| = -(x^2 - 6x + 8) = -x^2 + 6x - 8$.

Вычисляем интеграл:

$S = \int_{2}^{4} (-x^2 + 6x - 8) dx$

Используя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$S = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + 6\frac{x^2}{2} - 8x \right) \right|_{2}^{4} = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 8x \right) \right|_{2}^{4}$

$S = \left(-\frac{4^3}{3} + 3 \cdot 4^2 - 8 \cdot 4 \right) - \left(-\frac{2^3}{3} + 3 \cdot 2^2 - 8 \cdot 2 \right)$

$S = \left(-\frac{64}{3} + 48 - 32 \right) - \left(-\frac{8}{3} + 12 - 16 \right)$

$S = \left(-\frac{64}{3} + 16 \right) - \left(-\frac{8}{3} - 4 \right)$

$S = \left(\frac{-64 + 48}{3} \right) - \left(\frac{-8 - 12}{3} \right)$

$S = \left(-\frac{16}{3} \right) - \left(-\frac{20}{3} \right) = -\frac{16}{3} + \frac{20}{3} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

5.19. Треугольник вращается вокруг стороны, длина которой равна $a$. Прилежащие к стороне $a$ углы треугольника равны $\alpha$ и $\beta$. Найдите объем тела вращения.

Пусть дан треугольник, у которого сторона, служащая осью вращения, имеет длину $a$. Прилежащие к этой стороне углы равны $\alpha$ и $\beta$. Обозначим вершины треугольника как A, B и C, так что сторона AB имеет длину $a$, $\angle CAB = \alpha$ и $\angle CBA = \beta$.

Тело, образованное вращением треугольника ABC вокруг стороны AB, представляет собой объединение двух конусов с общим основанием. Вершина C при вращении описывает окружность, которая является общим основанием этих конусов. Ось вращения AB содержит высоты обоих конусов.

Проведем из вершины C высоту CH на прямую AB. Длина этой высоты $h = CH$ является радиусом $R$ общего основания конусов. Точка H (основание высоты) делит отрезок AB на два сегмента, AH и HB, которые являются высотами первого и второго конуса соответственно. Обозначим их длины как $h_1 = AH$ и $h_2 = HB$. Таким образом, длина стороны $a = h_1 + h_2$.

Объем тела вращения $V$ равен сумме объемов двух конусов $V_1$ и $V_2$:$V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 h_1 + \frac{1}{3}\pi R^2 h_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 (h_1 + h_2)$

Так как $h_1 + h_2 = a$, формула для объема принимает вид:$V = \frac{1}{3}\pi R^2 a$

Для нахождения объема нам необходимо выразить радиус $R$ через заданные параметры $a$, $\alpha$ и $\beta$. Рассмотрим прямоугольные треугольники AHC и BHC, образованные высотой CH.

Из треугольника AHC имеем:$\tan \alpha = \frac{CH}{AH} = \frac{R}{h_1}$, откуда $h_1 = \frac{R}{\tan \alpha} = R \cot \alpha$.

Из треугольника BHC имеем:$\tan \beta = \frac{CH}{BH} = \frac{R}{h_2}$, откуда $h_2 = \frac{R}{\tan \beta} = R \cot \beta$.

Сложив длины отрезков, получим:$a = h_1 + h_2 = R \cot \alpha + R \cot \beta = R(\cot \alpha + \cot \beta)$

Из этого соотношения выражаем радиус $R$:$R = \frac{a}{\cot \alpha + \cot \beta}$

Для упрощения дальнейших вычислений преобразуем выражение в знаменателе, используя формулу суммы котангенсов (или приведя к общему знаменателю):$\cot \alpha + \cot \beta = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos \beta}{\sin \beta} = \frac{\cos \alpha \sin \beta + \cos \beta \sin \alpha}{\sin \alpha \sin \beta} = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin \alpha \sin \beta}$

Подставив это в выражение для $R$, получаем:$R = \frac{a}{\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin \alpha \sin \beta}} = \frac{a \sin \alpha \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)}$

Теперь мы можем найти объем тела вращения, подставив полученное выражение для $R$ в формулу объема:$V = \frac{1}{3}\pi R^2 a = \frac{1}{3}\pi a \left( \frac{a \sin \alpha \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)} \right)^2$

Упрощая, получаем окончательную формулу:$V = \frac{1}{3}\pi a \cdot \frac{a^2 \sin^2 \alpha \sin^2 \beta}{\sin^2(\alpha + \beta)} = \frac{\pi a^3 \sin^2 \alpha \sin^2 \beta}{3 \sin^2(\alpha + \beta)}$

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \sin^2 \alpha \sin^2 \beta}{3 \sin^2(\alpha + \beta)}$

5.20. Найдите объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, ограниченной линиями $y = \left| |x - 1| - 2 \right|$, $y = 0$, $x = 0$, вокруг оси абсцисс.

Объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, вычисляется по формуле дисков. Если трапеция ограничена графиком функции $y = f(x)$, осью $Ox$ ($y=0$) и прямыми $x=a$ и $x=b$, то объем $V$ равен:

$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$

В нашем случае, криволинейная трапеция ограничена линиями $y = ||x - 1| - 2|$, $y = 0$ и $x = 0$. Сначала определим пределы интегрирования. Один из пределов задан как $x = 0$. Другой предел найдем, определив, где график функции $y = ||x - 1| - 2|$ пересекает ось $Ox$ (то есть, где $y=0$).

$||x - 1| - 2| = 0$

Это равносильно уравнению:

$|x - 1| - 2 = 0$

$|x - 1| = 2$

Данное уравнение с модулем распадается на два случая:

1) $x - 1 = 2 \implies x = 3$

2) $x - 1 = -2 \implies x = -1$

Так как область ограничена прямой $x=0$, мы рассматриваем область на оси $x$ от 0 до следующего пересечения с осью $Ox$, то есть до $x=3$. Таким образом, пределы интегрирования $a = 0$ и $b = 3$.

Теперь подставим функцию и пределы в формулу для объема:

$V = \pi \int_0^3 (||x - 1| - 2|)^2 dx$

Поскольку возведение в квадрат убирает внешний модуль, выражение упрощается:

$V = \pi \int_0^3 (|x - 1| - 2)^2 dx$

Для вычисления этого интеграла необходимо раскрыть внутренний модуль $|x - 1|$. Выражение $x-1$ меняет знак в точке $x=1$. Поэтому разобьем интеграл на два на промежутках $[0, 1]$ и $[1, 3]$.

На промежутке $[0, 1]$, $|x - 1| = -(x-1) = 1 - x$.

На промежутке $[1, 3]$, $|x - 1| = x - 1$.

Тогда интеграл можно записать в виде суммы двух интегралов:

$V = \pi \left( \int_0^1 ((1 - x) - 2)^2 dx + \int_1^3 ((x - 1) - 2)^2 dx \right)$

$V = \pi \left( \int_0^1 (-x - 1)^2 dx + \int_1^3 (x - 3)^2 dx \right)$

$V = \pi \left( \int_0^1 (x + 1)^2 dx + \int_1^3 (x - 3)^2 dx \right)$

Вычислим каждый интеграл:

$\int_0^1 (x + 1)^2 dx = \left[ \frac{(x + 1)^3}{3} \right]_0^1 = \frac{(1+1)^3}{3} - \frac{(0+1)^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

$\int_1^3 (x - 3)^2 dx = \left[ \frac{(x - 3)^3}{3} \right]_1^3 = \frac{(3-3)^3}{3} - \frac{(1-3)^3}{3} = 0 - \frac{(-2)^3}{3} = \frac{8}{3}$

Суммируем полученные значения, чтобы найти общий объем:

$V = \pi \left( \frac{7}{3} + \frac{8}{3} \right) = \pi \left( \frac{15}{3} \right) = 5\pi$

Ответ: $5\pi$.

5.21. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3$ и двумя касательными к этому графику, проходящими через точку на оси $Oy$ и образующими между собой прямой угол.

Для решения задачи необходимо найти уравнения двух касательных, удовлетворяющих условиям, а затем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими касательными и графиком исходной функции.

1. Нахождение уравнения касательной в общем виде

Исходная функция — это парабола $y = f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 3$.

Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем производную функции:

$f'(x) = \left(-\frac{1}{2}x^2 + 3\right)' = -x$.

Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен $k = f'(x_0) = -x_0$.

Значение функции в точке касания: $y_0 = f(x_0) = -\frac{1}{2}x_0^2 + 3$.

Подставим эти выражения в общее уравнение касательной:

$y = \left(-\frac{1}{2}x_0^2 + 3\right) + (-x_0)(x - x_0)$

$y = -\frac{1}{2}x_0^2 + 3 - x_0x + x_0^2$

$y = -x_0x + \frac{1}{2}x_0^2 + 3$

Это уравнение касательной в общем виде для любой точки $x_0$ на параболе.

2. Использование условий задачи для нахождения точки пересечения касательных

По условию, обе касательные проходят через одну и ту же точку на оси $Oy$. Координаты этой точки $(0, b)$. Подставим их в уравнение касательной, чтобы связать $b$ и $x_0$:

$b = -x_0 \cdot 0 + \frac{1}{2}x_0^2 + 3$

$b = \frac{1}{2}x_0^2 + 3$

Из этого соотношения выразим $x_0^2$:

$x_0^2 = 2(b - 3)$

Это уравнение показывает, что для точки пересечения $(0, b)$ существуют две симметричные точки касания с абсциссами $x_1 = \sqrt{2(b-3)}$ и $x_2 = -\sqrt{2(b-3)}$.

Второе условие — касательные образуют прямой угол, то есть они перпендикулярны. Условие перпендикулярности двух прямых: произведение их угловых коэффициентов $k_1$ и $k_2$ равно -1 ($k_1 \cdot k_2 = -1$).

Найдем угловые коэффициенты для наших двух касательных:

$k_1 = f'(x_1) = -x_1 = -\sqrt{2(b-3)}$

$k_2 = f'(x_2) = -x_2 = -(-\sqrt{2(b-3)}) = \sqrt{2(b-3)}$

Теперь применим условие перпендикулярности:

$(-\sqrt{2(b-3)}) \cdot (\sqrt{2(b-3)}) = -1$

$-(2(b-3)) = -1$

$2(b-3) = 1$

$b - 3 = \frac{1}{2}$

$b = 3.5$

Таким образом, точка пересечения касательных на оси $Oy$ имеет координаты $(0, 3.5)$.

3. Нахождение уравнений касательных и пределов интегрирования

Зная $b = 3.5$, найдем абсциссы точек касания:

$x_0^2 = 2(3.5 - 3) = 2(0.5) = 1$.

Отсюда $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

Теперь найдем уравнения двух касательных:

• Для $x_1 = -1$: угловой коэффициент $k_1 = -(-1) = 1$. Уравнение касательной: $y = 1 \cdot x + 3.5$, то есть $y_1 = x + 3.5$.
• Для $x_2 = 1$: угловой коэффициент $k_2 = -(1) = -1$. Уравнение касательной: $y = -1 \cdot x + 3.5$, то есть $y_2 = -x + 3.5$.

Искомая фигура ограничена снизу параболой $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3$ и сверху двумя касательными $y = x + 3.5$ и $y = -x + 3.5$. Пределы интегрирования по оси $x$ определяются абсциссами точек касания, то есть от -1 до 1.

4. Вычисление площади фигуры

Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности функции, ограничивающей фигуру сверху, и функции, ограничивающей ее снизу. Фигура симметрична относительно оси $Oy$. Поэтому можно вычислить площадь для $x \in [0, 1]$ и удвоить результат. На этом промежутке верхняя граница задается касательной $y = -x + 3.5$.

$S = \int_{-1}^{1} (\text{верхняя граница} - \text{нижняя граница}) \,dx = 2 \int_{0}^{1} \left( (-x + 3.5) - \left(-\frac{1}{2}x^2 + 3\right) \right) dx$

Упростим подынтегральное выражение:

$S = 2 \int_{0}^{1} \left( -x + 3.5 + \frac{1}{2}x^2 - 3 \right) dx = 2 \int_{0}^{1} \left( \frac{1}{2}x^2 - x + 0.5 \right) dx$

Вычислим определенный интеграл:

$S = 2 \left[ \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 0.5x \right]_0^1 = 2 \left[ \frac{x^3}{6} - \frac{x^2}{2} + \frac{x}{2} \right]_0^1$

Подставим пределы интегрирования:

$S = 2 \left( \left( \frac{1^3}{6} - \frac{1^2}{2} + \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{0^3}{6} - \frac{0^2}{2} + \frac{0}{2} \right) \right)$

$S = 2 \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 0 \right) = 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Ответ: Площадь фигуры равна $\frac{1}{3}$.

5.22. Чему равна площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = -\frac{1}{4}x^2 + 1$ и касательными, проведенными к этому графику в точках пересечения параболы с осью абсцисс?

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = -\frac{1}{4}x^2 + 1$ и касательными к нему в точках пересечения с осью абсцисс, выполним следующие шаги.

1. Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс.

Для этого необходимо решить уравнение $y=0$:

$-\frac{1}{4}x^2 + 1 = 0$

$\frac{1}{4}x^2 = 1$

$x^2 = 4$

Отсюда получаем две точки пересечения, в которых будут проведены касательные: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Координаты этих точек: $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

2. Найдем уравнения касательных к графику в найденных точках.

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Найдем производную функции $f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 1$:

$f'(x) = \left(-\frac{1}{4}x^2 + 1\right)' = -\frac{1}{4} \cdot 2x = -\frac{1}{2}x$.

Теперь составим уравнения для каждой точки.

Для точки $x_1 = -2$:

$f(-2) = -\frac{1}{4}(-2)^2 + 1 = 0$.

$f'(-2) = -\frac{1}{2}(-2) = 1$.

Уравнение первой касательной ($y_1$):

$y_1 = 0 + 1 \cdot (x - (-2)) \Rightarrow y_1 = x + 2$.

Для точки $x_2 = 2$:

$f(2) = -\frac{1}{4}(2)^2 + 1 = 0$.

$f'(2) = -\frac{1}{2}(2) = -1$.

Уравнение второй касательной ($y_2$):

$y_2 = 0 + (-1) \cdot (x - 2) \Rightarrow y_2 = -x + 2$.

3. Вычислим площадь искомой фигуры.

Фигура ограничена снизу параболой $y = -\frac{1}{4}x^2 + 1$, а сверху — двумя касательными: $y_1 = x+2$ на промежутке $[-2, 0]$ и $y_2 = -x+2$ на промежутке $[0, 2]$.

Площадь $S$ можно найти как интеграл от разности функции, ограничивающей фигуру сверху, и функции, ограничивающей ее снизу.Фигура симметрична относительно оси $Oy$, поэтому можно вычислить площадь ее правой половины (от $x=0$ до $x=2$) и умножить результат на 2.

На промежутке $[0, 2]$ фигура сверху ограничена касательной $y_2 = -x+2$, а снизу — параболой $y = -\frac{1}{4}x^2+1$.

$S = 2 \int_{0}^{2} \left( (-x+2) - \left(-\frac{1}{4}x^2+1\right) \right) dx$

$S = 2 \int_{0}^{2} \left( -x+2 + \frac{1}{4}x^2-1 \right) dx$

$S = 2 \int_{0}^{2} \left( \frac{1}{4}x^2 - x + 1 \right) dx$

Теперь вычислим определенный интеграл:

$S = 2 \left[ \frac{1}{4}\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x \right]_0^2 = 2 \left[ \frac{x^3}{12} - \frac{x^2}{2} + x \right]_0^2$

$S = 2 \left( \left(\frac{2^3}{12} - \frac{2^2}{2} + 2\right) - \left(\frac{0^3}{12} - \frac{0^2}{2} + 0\right) \right)$

$S = 2 \left( \frac{8}{12} - \frac{4}{2} + 2 - 0 \right) = 2 \left( \frac{2}{3} - 2 + 2 \right) = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

5.23. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = -x^2 + 4x$ и касательными, проведенными к этому графику в точках пересечения параболы с осью абсцисс.

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги: найти точки пересечения параболы с осью абсцисс, составить уравнения касательных в этих точках, найти точку пересечения касательных и, наконец, вычислить площадь искомой фигуры с помощью определенного интеграла.

1. Нахождение точек пересечения параболы с осью абсцисс (Ox)

Точки пересечения графика функции $y = -x^2 + 4x$ с осью абсцисс находятся при условии $y = 0$.

Решим уравнение:

$-x^2 + 4x = 0$

$x(-x + 4) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Таким образом, парабола пересекает ось Ox в точках $A(0, 0)$ и $B(4, 0)$. Это и есть точки, в которых нужно провести касательные.

2. Составление уравнений касательных

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем производную нашей функции $f(x) = -x^2 + 4x$:

$f'(x) = (-x^2 + 4x)' = -2x + 4$.

Теперь найдем уравнения для каждой точки.

Касательная в точке A(0, 0):

Здесь $x_0 = 0$.

$f(0) = -0^2 + 4(0) = 0$.

Значение производной (угловой коэффициент) в этой точке: $f'(0) = -2(0) + 4 = 4$.

Подставляем значения в формулу касательной:

$y = 0 + 4(x - 0) \implies y_1 = 4x$.

Касательная в точке B(4, 0):

Здесь $x_0 = 4$.

$f(4) = -4^2 + 4(4) = -16 + 16 = 0$.

Значение производной в этой точке: $f'(4) = -2(4) + 4 = -8 + 4 = -4$.

Подставляем значения в формулу касательной:

$y = 0 + (-4)(x - 4) \implies y_2 = -4x + 16$.

3. Вычисление площади фигуры

Фигура ограничена снизу параболой $y = -x^2 + 4x$, а сверху — двумя касательными: $y_1 = 4x$ на отрезке от $x=0$ до точки их пересечения и $y_2 = -4x + 16$ на отрезке от точки их пересечения до $x=4$.

Найдем точку пересечения касательных, приравняв их уравнения:

$4x = -4x + 16$

$8x = 16$

$x = 2$

Таким образом, касательные пересекаются в точке с абсциссой $x=2$.

Площадь $S$ фигуры можно вычислить как сумму двух интегралов. Площадь — это интеграл от разности "верхней" и "нижней" функций.

На отрезке $[0, 2]$ верхняя функция — это $y_1 = 4x$, нижняя — $y = -x^2 + 4x$.

На отрезке $[2, 4]$ верхняя функция —