Номер 5.18, страница 48 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5.18. Функция $F(x)$ является первообразной функции $f(x) = 2x - 4$. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций $f(x)$ и $F(x)$, если известно, что график функции $F(x)$ проходит через точку $A(0; 4)$.

По условию, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x) = 2x - 4$. Найдём общий вид первообразной $F(x)$ путем интегрирования функции $f(x)$:

$F(x) = \int f(x) dx = \int (2x - 4) dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 4x + C = x^2 - 4x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Нам известно, что график функции $F(x)$ проходит через точку $A(0; 4)$. Это означает, что $F(0) = 4$. Подставим эти значения в выражение для $F(x)$, чтобы определить значение константы $C$:

$F(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + C = 4$

Отсюда следует, что $C = 4$.

Таким образом, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = x^2 - 4x + 4$.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $f(x) = 2x-4$ и $F(x) = x^2 - 4x + 4$, сначала определим пределы интегрирования. Для этого найдём абсциссы точек пересечения графиков, решив уравнение $f(x) = F(x)$:

$2x - 4 = x^2 - 4x + 4$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Корни данного квадратного уравнения можно найти по теореме Виета: сумма корней равна 6, произведение равно 8. Следовательно, корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Это и есть пределы интегрирования.

Площадь $S$ фигуры вычисляется как определённый интеграл от модуля разности функций на отрезке $[2, 4]$:

$S = \int_{2}^{4} |F(x) - f(x)| dx = \int_{2}^{4} |(x^2 - 4x + 4) - (2x - 4)| dx = \int_{2}^{4} |x^2 - 6x + 8| dx$.

На интервале $(2, 4)$ график функции $y = x^2 - 6x + 8$ (парабола с ветвями вверх и корнями в точках 2 и 4) находится ниже оси абсцисс, то есть принимает отрицательные значения. Поэтому $|x^2 - 6x + 8| = -(x^2 - 6x + 8) = -x^2 + 6x - 8$.

Вычисляем интеграл:

$S = \int_{2}^{4} (-x^2 + 6x - 8) dx$

Используя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$S = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + 6\frac{x^2}{2} - 8x \right) \right|_{2}^{4} = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 8x \right) \right|_{2}^{4}$

$S = \left(-\frac{4^3}{3} + 3 \cdot 4^2 - 8 \cdot 4 \right) - \left(-\frac{2^3}{3} + 3 \cdot 2^2 - 8 \cdot 2 \right)$

$S = \left(-\frac{64}{3} + 48 - 32 \right) - \left(-\frac{8}{3} + 12 - 16 \right)$

$S = \left(-\frac{64}{3} + 16 \right) - \left(-\frac{8}{3} - 4 \right)$

$S = \left(\frac{-64 + 48}{3} \right) - \left(\frac{-8 - 12}{3} \right)$

$S = \left(-\frac{16}{3} \right) - \left(-\frac{20}{3} \right) = -\frac{16}{3} + \frac{20}{3} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.