Номер 5.12, страница 47 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5.12. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой

1) $y = 4x - x^2$;

2) $y = x^2 - 6x$ и прямой, проходящей через вершину параболы и начало координат.

1)

Заданная фигура ограничена параболой $y = 4x - x^2$ и осью абсцисс ($y = 0$), так как в условии не указана другая ограничивающая линия. Площадь такой фигуры можно найти с помощью определенного интеграла.

Сначала найдем пределы интегрирования. Для этого приравняем уравнение параболы к нулю, чтобы найти точки пересечения с осью $x$:

$4x - x^2 = 0$

$x(4 - x) = 0$

Отсюда получаем две точки пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Это и будут наши пределы интегрирования.

Площадь фигуры $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} f(x) dx$

В нашем случае $f(x) = 4x - x^2$, $a = 0$ и $b = 4$.

$S = \int_{0}^{4} (4x - x^2) dx$

Вычислим интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left( 4\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{0}^{4} = \left( 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{0}^{4}$

Подставим пределы интегрирования:

$S = \left( 2(4)^2 - \frac{4^3}{3} \right) - \left( 2(0)^2 - \frac{0^3}{3} \right)$

$S = \left( 2 \cdot 16 - \frac{64}{3} \right) - 0 = 32 - \frac{64}{3} = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $S = \frac{32}{3}$

2)

Фигура ограничена параболой $y = x^2 - 6x$ и прямой, проходящей через вершину этой параболы и начало координат.

Сначала найдем координаты вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$. В нашем случае $a = 1$, $b = -6$, $c = 0$.

Координата $x$ вершины находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$

Подставим $x_v = 3$ в уравнение параболы, чтобы найти координату $y$ вершины:

$y_v = (3)^2 - 6(3) = 9 - 18 = -9$

Итак, вершина параболы находится в точке $V(3, -9)$.

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через начало координат $O(0, 0)$ и вершину параболы $V(3, -9)$. Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид $y = kx$. Подставим координаты вершины, чтобы найти угловой коэффициент $k$:

$-9 = k \cdot 3 \implies k = -3$

Уравнение прямой: $y = -3x$.

Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми $y = f(x)$ и $y = g(x)$, вычисляется как интеграл от разности функций. Пределы интегрирования — это абсциссы точек пересечения этих кривых.

Найдем точки пересечения параболы $y = x^2 - 6x$ и прямой $y = -3x$:

$x^2 - 6x = -3x$

$x^2 - 3x = 0$

$x(x - 3) = 0$

Точки пересечения имеют абсциссы $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Это наши пределы интегрирования.

На интервале $(0, 3)$ нужно определить, какая из функций находится выше. Возьмем пробную точку $x = 1$:

Для параболы: $y(1) = 1^2 - 6(1) = -5$.

Для прямой: $y(1) = -3(1) = -3$.

Поскольку $-3 > -5$, на интервале $(0, 3)$ прямая $y = -3x$ лежит выше параболы $y = x^2 - 6x$.

Площадь $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{0}^{3} ((-3x) - (x^2 - 6x)) dx = \int_{0}^{3} (-3x - x^2 + 6x) dx = \int_{0}^{3} (3x - x^2) dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left( 3\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{0}^{3} = \left( \frac{3 \cdot 3^2}{2} - \frac{3^3}{3} \right) - \left( 0 \right)$

$S = \frac{27}{2} - \frac{27}{3} = \frac{27}{2} - 9 = \frac{27 - 18}{2} = \frac{9}{2}$

Ответ: $S = \frac{9}{2}$