Номер 5.10, страница 47 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5.10. 1) Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 4x - x^2$ и прямой, проходящей через точки A (4; 0) и B (0; 4).

2) Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 3x^2$ $(x < 0)$, осью абсцисс и прямой, проходящей через точки (-3; 0) и (0; 4,5).

1)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной параболой и прямой, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти уравнение прямой, проходящей через точки $A(4; 0)$ и $B(0; 4)$.

2. Найти точки пересечения параболы и прямой, чтобы определить пределы интегрирования.

3. Вычислить площадь как определенный интеграл разности функций.

Шаг 1: Уравнение прямой.

Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$.

Подставим координаты точки $B(0; 4)$: $4 = k \cdot 0 + b$, откуда $b = 4$.

Теперь уравнение имеет вид $y = kx + 4$. Подставим координаты точки $A(4; 0)$: $0 = k \cdot 4 + 4$, откуда $4k = -4$ и $k = -1$.

Итак, уравнение прямой: $y = -x + 4$.

Шаг 2: Точки пересечения.

Приравняем уравнения параболы $y = 4x - x^2$ и прямой $y = -x + 4$:

$4x - x^2 = -x + 4$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Это и будут пределы интегрирования.

Шаг 3: Вычисление площади.

На интервале $[1; 4]$ определим, какая из функций находится выше. Возьмем пробную точку, например, $x=2$:

Для параболы: $y(2) = 4(2) - 2^2 = 8 - 4 = 4$.

Для прямой: $y(2) = -2 + 4 = 2$.

Так как $4 > 2$, парабола $y = 4x - x^2$ является верхней границей фигуры, а прямая $y = -x + 4$ — нижней.

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} (y_{верх} - y_{ниж}) dx$

$S = \int_{1}^{4} ((4x - x^2) - (-x + 4)) dx = \int_{1}^{4} (4x - x^2 + x - 4) dx = \int_{1}^{4} (-x^2 + 5x - 4) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x \right]_{1}^{4} = \left( -\frac{4^3}{3} + \frac{5 \cdot 4^2}{2} - 4 \cdot 4 \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + \frac{5 \cdot 1^2}{2} - 4 \cdot 1 \right)$

$S = \left( -\frac{64}{3} + \frac{80}{2} - 16 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 \right) = \left( -\frac{64}{3} + 40 - 16 \right) - \left( \frac{-2 + 15 - 24}{6} \right)$

$S = \left( -\frac{64}{3} + 24 \right) - \left( -\frac{11}{6} \right) = \left( \frac{-64 + 72}{3} \right) + \frac{11}{6} = \frac{8}{3} + \frac{11}{6} = \frac{16}{6} + \frac{11}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: $4.5$

2)

Фигура ограничена параболой $y = 3x^2$ при $x < 0$, осью абсцисс ($y=0$) и прямой, проходящей через точки $(-3; 0)$ и $(0; 4.5)$.

Шаг 1: Уравнение прямой.

Найдем уравнение прямой $y = kx + b$.

Из точки $(0; 4.5)$ следует, что $b = 4.5$.

Подставим точку $(-3; 0)$: $0 = k(-3) + 4.5$, откуда $3k = 4.5$ и $k = 1.5$.

Уравнение прямой: $y = 1.5x + 4.5$.

Шаг 2: Анализ фигуры и нахождение точек пересечения.

Найдем точки пересечения заданных линий:

• Прямая и ось абсцисс ($y=0$): $1.5x + 4.5 = 0 \Rightarrow x = -3$. Точка $(-3; 0)$.

• Парабола и ось абсцисс ($y=0$): $3x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$. Точка $(0; 0)$.

• Парабола и прямая: $3x^2 = 1.5x + 4.5 \Rightarrow 3x^2 - 1.5x - 4.5 = 0$. Умножим на 2: $6x^2 - 3x - 9 = 0$. Разделим на 3: $2x^2 - x - 3 = 0$.

Корни уравнения: $x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{1 \pm 5}{4}$.

Получаем $x_1 = 1.5$ и $x_2 = -1$. Согласно условию $x < 0$, нас интересует корень $x = -1$. Точка пересечения $(-1; 3)$.

Шаг 3: Вычисление площади.

Вершинами искомой фигуры являются точки пересечения: $(-3; 0)$, $(0; 0)$ и $(-1; 3)$. Фигура ограничена снизу осью абсцисс, а сверху — отрезком прямой от $x=-3$ до $x=-1$ и дугой параболы от $x=-1$ до $x=0$.

Площадь такой фигуры можно найти как сумму площадей двух криволинейных трапеций:

1. Площадь $S_1$ под прямой $y = 1.5x + 4.5$ на отрезке $[-3; -1]$.

2. Площадь $S_2$ под параболой $y = 3x^2$ на отрезке $[-1; 0]$.

$S_1 = \int_{-3}^{-1} (1.5x + 4.5) dx = \left[ \frac{1.5x^2}{2} + 4.5x \right]_{-3}^{-1}$

$S_1 = \left( \frac{1.5(-1)^2}{2} + 4.5(-1) \right) - \left( \frac{1.5(-3)^2}{2} + 4.5(-3) \right)$

$S_1 = (0.75 - 4.5) - (6.75 - 13.5) = -3.75 - (-6.75) = 3$.

(Эта область представляет собой прямоугольный треугольник с катетами 2 и 3, его площадь $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3$).

$S_2 = \int_{-1}^{0} 3x^2 dx = \left[ x^3 \right]_{-1}^{0} = 0^3 - (-1)^3 = 0 - (-1) = 1$.

Общая площадь: $S = S_1 + S_2 = 3 + 1 = 4$.

Ответ: $4$