Номер 5.16, страница 48 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5.16. Изобразите фигуру, площадь которой равна значению определенного интеграла: 1) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sin 2x \,dx$; 2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos 3x \,dx$; 3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin^2 x \,dx$.

1) Геометрический смысл определенного интеграла $\int_{a}^{b} f(x) \,dx$ для неотрицательной функции $f(x)$ — это площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x=a$ и $x=b$.

В данном случае $f(x) = \sin(2x)$, $a = \frac{\pi}{6}$, $b = \frac{\pi}{3}$.

Проверим знак функции на отрезке $[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$. Если $x \in [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$, то $2x \in [\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}]$. В этом интервале $\sin(2x) \ge 0$.

Следовательно, интеграл равен площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = \sin(2x)$, осью Ox и вертикальными прямыми $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{3}$.

Эта фигура представляет собой криволинейную трапецию, у которой:

• нижнее основание лежит на оси Ox от точки $x = \frac{\pi}{6}$ до $x = \frac{\pi}{3}$;
• боковые стороны — это вертикальные отрезки, соединяющие ось Ox с графиком функции в точках $x = \frac{\pi}{6}$ (длина отрезка равна $\sin(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$) и $x = \frac{\pi}{3}$ (длина отрезка равна $\sin(2 \cdot \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$);
• верхнее основание — это часть графика функции $y = \sin(2x)$ на отрезке $[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$.

Ответ: Фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную линиями $y = \sin(2x)$, $y = 0$, $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{3}$.

2) Здесь $f(x) = \cos(3x)$, $a = 0$, $b = \frac{\pi}{6}$.

Проверим знак функции на отрезке $[0, \frac{\pi}{6}]$. Если $x \in [0, \frac{\pi}{6}]$, то $3x \in [0, \frac{\pi}{2}]$. В этом интервале $\cos(3x) \ge 0$.

Следовательно, интеграл равен площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = \cos(3x)$, осью Ox (прямая $y=0$) и вертикальными прямыми $x = 0$ (ось Oy) и $x = \frac{\pi}{6}$.

Эта фигура представляет собой криволинейную трапецию, у которой:

• нижнее основание лежит на оси Ox от точки $x=0$ до $x=\frac{\pi}{6}$;
• левая боковая сторона лежит на оси Oy от $y=0$ до точки пересечения с графиком $y=\cos(3 \cdot 0) = 1$;
• правая боковая сторона — это вертикальный отрезок при $x=\frac{\pi}{6}$. Его длина равна $\cos(3 \cdot \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, то есть график пересекает ось Ox в этой точке;
• верхнее основание — это часть графика функции $y = \cos(3x)$ от точки $(0, 1)$ до точки $(\frac{\pi}{6}, 0)$.

Ответ: Фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную линиями $y = \cos(3x)$, $y = 0$, $x = 0$ и $x = \frac{\pi}{6}$.

3) Здесь $f(x) = \sin^2(x)$, $a = 0$, $b = \frac{\pi}{6}$.

Функция $f(x) = \sin^2(x)$ является квадратом действительного числа, поэтому она всегда неотрицательна ($f(x) \ge 0$) для любого $x$.

Следовательно, интеграл равен площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = \sin^2(x)$, осью Ox и вертикальными прямыми $x = 0$ (ось Oy) и $x = \frac{\pi}{6}$.

Эта фигура представляет собой криволинейную трапецию, у которой:

• нижнее основание лежит на оси Ox от точки $x=0$ до $x=\frac{\pi}{6}$;
• левая боковая сторона совпадает с осью Oy, и так как $\sin^2(0)=0$, график начинается в начале координат $(0,0)$;
• правая боковая сторона — это вертикальный отрезок при $x=\frac{\pi}{6}$, соединяющий ось Ox с точкой на графике $(\frac{\pi}{6}, \sin^2(\frac{\pi}{6})) = (\frac{\pi}{6}, (\frac{1}{2})^2) = (\frac{\pi}{6}, \frac{1}{4})$;
• верхнее основание — это часть графика функции $y = \sin^2(x)$ на отрезке $[0, \frac{\pi}{6}]$.

Ответ: Фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную линиями $y = \sin^2(x)$, $y = 0$, $x = 0$ и $x = \frac{\pi}{6}$.