Номер 5.19, страница 48 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5.19. Треугольник вращается вокруг стороны, длина которой равна $a$. Прилежащие к стороне $a$ углы треугольника равны $\alpha$ и $\beta$. Найдите объем тела вращения.

Пусть дан треугольник, у которого сторона, служащая осью вращения, имеет длину $a$. Прилежащие к этой стороне углы равны $\alpha$ и $\beta$. Обозначим вершины треугольника как A, B и C, так что сторона AB имеет длину $a$, $\angle CAB = \alpha$ и $\angle CBA = \beta$.

Тело, образованное вращением треугольника ABC вокруг стороны AB, представляет собой объединение двух конусов с общим основанием. Вершина C при вращении описывает окружность, которая является общим основанием этих конусов. Ось вращения AB содержит высоты обоих конусов.

Проведем из вершины C высоту CH на прямую AB. Длина этой высоты $h = CH$ является радиусом $R$ общего основания конусов. Точка H (основание высоты) делит отрезок AB на два сегмента, AH и HB, которые являются высотами первого и второго конуса соответственно. Обозначим их длины как $h_1 = AH$ и $h_2 = HB$. Таким образом, длина стороны $a = h_1 + h_2$.

Объем тела вращения $V$ равен сумме объемов двух конусов $V_1$ и $V_2$:$V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 h_1 + \frac{1}{3}\pi R^2 h_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 (h_1 + h_2)$

Так как $h_1 + h_2 = a$, формула для объема принимает вид:$V = \frac{1}{3}\pi R^2 a$

Для нахождения объема нам необходимо выразить радиус $R$ через заданные параметры $a$, $\alpha$ и $\beta$. Рассмотрим прямоугольные треугольники AHC и BHC, образованные высотой CH.

Из треугольника AHC имеем:$\tan \alpha = \frac{CH}{AH} = \frac{R}{h_1}$, откуда $h_1 = \frac{R}{\tan \alpha} = R \cot \alpha$.

Из треугольника BHC имеем:$\tan \beta = \frac{CH}{BH} = \frac{R}{h_2}$, откуда $h_2 = \frac{R}{\tan \beta} = R \cot \beta$.

Сложив длины отрезков, получим:$a = h_1 + h_2 = R \cot \alpha + R \cot \beta = R(\cot \alpha + \cot \beta)$

Из этого соотношения выражаем радиус $R$:$R = \frac{a}{\cot \alpha + \cot \beta}$

Для упрощения дальнейших вычислений преобразуем выражение в знаменателе, используя формулу суммы котангенсов (или приведя к общему знаменателю):$\cot \alpha + \cot \beta = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos \beta}{\sin \beta} = \frac{\cos \alpha \sin \beta + \cos \beta \sin \alpha}{\sin \alpha \sin \beta} = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin \alpha \sin \beta}$

Подставив это в выражение для $R$, получаем:$R = \frac{a}{\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin \alpha \sin \beta}} = \frac{a \sin \alpha \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)}$

Теперь мы можем найти объем тела вращения, подставив полученное выражение для $R$ в формулу объема:$V = \frac{1}{3}\pi R^2 a = \frac{1}{3}\pi a \left( \frac{a \sin \alpha \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)} \right)^2$

Упрощая, получаем окончательную формулу:$V = \frac{1}{3}\pi a \cdot \frac{a^2 \sin^2 \alpha \sin^2 \beta}{\sin^2(\alpha + \beta)} = \frac{\pi a^3 \sin^2 \alpha \sin^2 \beta}{3 \sin^2(\alpha + \beta)}$

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \sin^2 \alpha \sin^2 \beta}{3 \sin^2(\alpha + \beta)}$