Номер 5.26, страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5.26. 1) Вычислите силу давления воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием 18 м и высотой 6 м.

2) Канал имеет в разрезе форму равнобокой трапеции с основаниями $a$ и $b$ и высотой $h$, где $a > b$, $a$ — верхнее основание. Найдите силу, с которой вода, заполняющая канал, давит на плотину.

1)

Сила давления жидкости на вертикальную пластину вычисляется с помощью интеграла. Давление воды на глубине $y$ определяется формулой $P(y) = \rho g y$, где $\rho$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения, а $y$ — глубина, отсчитываемая от поверхности воды.

Рассмотрим вертикальный прямоугольный шлюз с основанием (шириной) $W = 18$ м и высотой $H = 6$ м. Предполагаем, что верхний край шлюза находится на уровне поверхности воды. Введем систему координат, где ось $y$ направлена вертикально вниз от поверхности воды.

Чтобы найти полную силу давления, мысленно разобьем поверхность шлюза на узкие горизонтальные полоски высотой $dy$ на глубине $y$. Площадь такой полоски равна $dA = W \cdot dy$. Давление на этой глубине постоянно и равно $P(y)$. Элементарная сила $dF$, действующая на эту полоску, равна:

$dF = P(y) \cdot dA = \rho g y W dy$

Полная сила $F$ находится путем интегрирования этого выражения по всей высоте шлюза, то есть от $y=0$ до $y=H$:

$F = \int_0^H \rho g y W dy = \rho g W \int_0^H y dy = \rho g W \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^H = \frac{\rho g W H^2}{2}$

Подставим числовые значения. Примем плотность воды $\rho = 1000$ кг/м³ и ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с².

$W = 18$ м

$H = 6$ м

$F = \frac{1000 \frac{кг}{м^3} \cdot 9.8 \frac{м}{с^2} \cdot 18 м \cdot (6 м)^2}{2} = 500 \cdot 9.8 \cdot 18 \cdot 36 = 3175200$ Н

Сила составляет $3175.2$ кН или примерно $3.18$ МН.

Ответ: $3175200$ Н.

2)

Плотина имеет форму вертикальной равнобокой трапеции. Пусть верхнее основание равно $a$, нижнее — $b$, а высота — $h$. Канал полностью заполнен водой, поэтому глубина воды равна высоте плотины $h$.

Введем систему координат с началом на поверхности воды (на линии верхнего основания трапеции), ось $y$ направим вертикально вниз. Давление на глубине $y$ равно $P(y) = \rho g y$.

Для вычисления силы давления необходимо проинтегрировать давление по площади плотины. Ширина плотины $w$ меняется в зависимости от глубины $y$. Так как ширина меняется линейно от $a$ при $y=0$ до $b$ при $y=h$, зависимость ширины от глубины можно описать функцией:

$w(y) = a + \frac{b-a}{h}y = a - \frac{a-b}{h}y$

Рассмотрим тонкую горизонтальную полоску на глубине $y$ с высотой $dy$. Ее площадь $dA = w(y)dy$. Сила, действующая на эту полоску, равна:

$dF = P(y) dA = \rho g y \cdot w(y) dy = \rho g y \left( a - \frac{a-b}{h}y \right) dy$

Полная сила $F$ на плотину — это интеграл от $dF$ по всей высоте от $y=0$ до $y=h$:

$F = \int_0^h \rho g y \left( a - \frac{a-b}{h}y \right) dy = \rho g \int_0^h \left( ay - \frac{a-b}{h}y^2 \right) dy$

Вычислим интеграл:

$F = \rho g \left[ a\frac{y^2}{2} - \frac{a-b}{h}\frac{y^3}{3} \right]_0^h = \rho g \left( a\frac{h^2}{2} - \frac{a-b}{h}\frac{h^3}{3} \right)$

$F = \rho g \left( \frac{ah^2}{2} - \frac{(a-b)h^2}{3} \right) = \rho g h^2 \left( \frac{a}{2} - \frac{a-b}{3} \right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$F = \rho g h^2 \left( \frac{3a - 2(a-b)}{6} \right) = \rho g h^2 \left( \frac{3a - 2a + 2b}{6} \right) = \frac{\rho g h^2 (a + 2b)}{6}$

Это и есть искомая формула для силы давления воды на плотину.

Ответ: $F = \frac{\rho g h^2 (a + 2b)}{6}$, где $\rho$ — плотность воды, а $g$ — ускорение свободного падения.