Номер 5.24, страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5.24. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = \int_{x}^{x+1} 3t^2 dt$ и прямой $y = 1$.

Для начала найдем явный вид функции $y(x)$, вычислив определенный интеграл. Используем формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(t) dt = F(b) - F(a)$, где $F(t)$ - первообразная для $f(t)$.

Первообразная для подынтегральной функции $f(t) = 3t^2$ есть $F(t) = t^3$.

Тогда:

$y = \int_{x}^{x+1} 3t^2 dt = [t^3]_{x}^{x+1} = (x+1)^3 - x^3$

Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$y = (x^3 + 3x^2 \cdot 1 + 3x \cdot 1^2 + 1^3) - x^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 = 3x^2 + 3x + 1$.

Таким образом, нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 3x^2 + 3x + 1$ и прямой $y = 1$.

Для нахождения пределов интегрирования найдем точки пересечения этих двух графиков, приравняв их уравнения:

$3x^2 + 3x + 1 = 1$

$3x^2 + 3x = 0$

$3x(x + 1) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$. Это и будут наши пределы интегрирования.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций. Чтобы определить, какая функция является верхней на интервале $(-1, 0)$, возьмем любую точку из этого интервала, например, $x = -0.5$.

Для параболы $y(-0.5) = 3(-0.5)^2 + 3(-0.5) + 1 = 3(0.25) - 1.5 + 1 = 0.75 - 1.5 + 1 = 0.25$.

Поскольку $0.25 < 1$, на интервале $(-1, 0)$ график прямой $y=1$ лежит выше графика параболы $y = 3x^2 + 3x + 1$.

Теперь можно вычислить площадь фигуры по формуле:

$S = \int_{a}^{b} (y_{верх} - y_{нижн}) dx$

$S = \int_{-1}^{0} (1 - (3x^2 + 3x + 1)) dx = \int_{-1}^{0} (1 - 3x^2 - 3x - 1) dx = \int_{-1}^{0} (-3x^2 - 3x) dx$

Вычисляем интеграл:

$S = [-3 \frac{x^3}{3} - 3 \frac{x^2}{2}]_{-1}^{0} = [-x^3 - \frac{3}{2}x^2]_{-1}^{0}$

Подставляем пределы интегрирования:

$S = (-(0)^3 - \frac{3}{2}(0)^2) - (-(-1)^3 - \frac{3}{2}(-1)^2) = 0 - (-(-1) - \frac{3}{2}(1)) = -(1 - \frac{3}{2}) = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.