Номер 5.17, страница 48 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5.17. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^2 - 2x + 1$ и графиком ее производной.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной заданными линиями, выполним следующие шаги:

1. Найдем уравнение графика производной для исходной функции $y = x^2 - 2x + 1$. Обозначим исходную функцию как $f(x) = x^2 - 2x + 1$, а ее производную как $g(x)$.

Производная функции $f(x)$ находится по правилам дифференцирования степенной функции:

$g(x) = f'(x) = (x^2 - 2x + 1)' = 2x^{2-1} - 2x^{1-1} + 0 = 2x - 2$.

Таким образом, нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 - 2x + 1$ и прямой $y = 2x - 2$.

2. Найдем точки пересечения графиков функций $f(x)$ и $g(x)$. Для этого приравняем их выражения:

$x^2 - 2x + 1 = 2x - 2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 2x + 1 + 2 = 0$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Следовательно, корнями являются:

$x_1 = 1$

$x_2 = 3$

Эти значения являются пределами интегрирования для вычисления площади.

3. Вычислим площадь фигуры. Площадь $S$ фигуры, заключенной между кривыми $y_1(x)$ и $y_2(x)$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} |y_2(x) - y_1(x)| dx$

В нашем случае $a = 1$, $b = 3$, $y_1(x) = f(x) = x^2 - 2x + 1$ и $y_2(x) = g(x) = 2x - 2$. Чтобы определить, какая функция больше на интервале $(1, 3)$, выберем пробную точку, например $x = 2$.

$f(2) = 2^2 - 2(2) + 1 = 4 - 4 + 1 = 1$

$g(2) = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$

Поскольку $g(2) > f(2)$, на всем интервале $(1, 3)$ график прямой $g(x)$ лежит выше графика параболы $f(x)$. Поэтому модуль можно опустить и вычислять интеграл от разности $g(x) - f(x)$.

$S = \int_{1}^{3} ( (2x - 2) - (x^2 - 2x + 1) ) dx$

Упростим подынтегральное выражение:

$(2x - 2) - (x^2 - 2x + 1) = 2x - 2 - x^2 + 2x - 1 = -x^2 + 4x - 3$

Теперь вычислим определенный интеграл:

$S = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} - 3x \right]_{1}^{3} = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_{1}^{3}$

Применим формулу Ньютона-Лейбница $F(b) - F(a)$:

$S = \left( -\frac{3^3}{3} + 2(3)^2 - 3(3) \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + 2(1)^2 - 3(1) \right)$

$S = \left( -\frac{27}{3} + 2 \cdot 9 - 9 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 2 - 3 \right)$

$S = (-9 + 18 - 9) - \left( -\frac{1}{3} - 1 \right)$

$S = 0 - \left( -\frac{4}{3} \right)$

$S = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$.