Номер 5.13, страница 48 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5.13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

1) $y = x^2$ и $y = 3 - 2x$;

2) $y = x^2$ и $y = 2x - x^2$;

3) $y = x^2 + 1$ и $y = -x^2 + 3$;

4) $y = 2x^2 + 1$ и $y = x + 2$, $y = 1,5$.

1) y = x² и y = 3 - 2x

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций, сначала найдем точки их пересечения. Для этого приравняем правые части уравнений:

$x^2 = 3 - 2x$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корнями являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$. Это будут пределы интегрирования.

Теперь определим, какая из функций принимает большие значения на интервале $(-3, 1)$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $x=0$:

Для $y = x^2$: $y(0) = 0^2 = 0$.

Для $y = 3 - 2x$: $y(0) = 3 - 2(0) = 3$.

Поскольку $3 > 0$, на интервале $(-3, 1)$ график функции $y = 3 - 2x$ находится выше графика $y = x^2$.

Площадь фигуры равна интегралу от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{-3}^{1} ((3 - 2x) - x^2) dx = \int_{-3}^{1} (-x^2 - 2x + 3) dx$

Вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} - \frac{2x^2}{2} + 3x \right) \right|_{-3}^{1} = \left. \left( -\frac{x^3}{3} - x^2 + 3x \right) \right|_{-3}^{1}$

$S = \left( -\frac{1^3}{3} - 1^2 + 3(1) \right) - \left( -\frac{(-3)^3}{3} - (-3)^2 + 3(-3) \right)$

$S = \left( -\frac{1}{3} - 1 + 3 \right) - \left( -(-\frac{27}{3}) - 9 - 9 \right)$

$S = \left( 2 - \frac{1}{3} \right) - (9 - 9 - 9) = \frac{5}{3} - (-9) = \frac{5}{3} + 9 = \frac{5 + 27}{3} = \frac{32}{3}$.

Ответ: $\frac{32}{3}$.

2) y = x² и y = 2x - x²

Найдем точки пересечения графиков:

$x^2 = 2x - x^2$

$2x^2 - 2x = 0$

$2x(x - 1) = 0$

Точки пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Это пределы интегрирования.

Определим, какая функция является верхней на интервале $(0, 1)$. Возьмем тестовую точку $x=0.5$:

Для $y = x^2$: $y(0.5) = (0.5)^2 = 0.25$.

Для $y = 2x - x^2$: $y(0.5) = 2(0.5) - (0.5)^2 = 1 - 0.25 = 0.75$.

Так как $0.75 > 0.25$, функция $y = 2x - x^2$ является верхней.

Вычислим площадь:

$S = \int_{0}^{1} ((2x - x^2) - x^2) dx = \int_{0}^{1} (2x - 2x^2) dx$

$S = \left. \left( \frac{2x^2}{2} - \frac{2x^3}{3} \right) \right|_{0}^{1} = \left. \left( x^2 - \frac{2x^3}{3} \right) \right|_{0}^{1}$

$S = \left( 1^2 - \frac{2 \cdot 1^3}{3} \right) - \left( 0^2 - \frac{2 \cdot 0^3}{3} \right) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

3) y = x² + 1 и y = -x² + 3

Найдем точки пересечения графиков:

$x^2 + 1 = -x^2 + 3$

$2x^2 = 2$

$x^2 = 1 \implies x_1 = -1, x_2 = 1$.

Определим верхнюю функцию на интервале $(-1, 1)$, взяв точку $x=0$:

Для $y = x^2 + 1$: $y(0) = 0^2 + 1 = 1$.

Для $y = -x^2 + 3$: $y(0) = -0^2 + 3 = 3$.

Так как $3 > 1$, функция $y = -x^2 + 3$ является верхней.

Вычислим площадь:

$S = \int_{-1}^{1} ((-x^2 + 3) - (x^2 + 1)) dx = \int_{-1}^{1} (-2x^2 + 2) dx$

$S = \left. \left( - \frac{2x^3}{3} + 2x \right) \right|_{-1}^{1}$

$S = \left( - \frac{2 \cdot 1^3}{3} + 2(1) \right) - \left( - \frac{2(-1)^3}{3} + 2(-1) \right)$

$S = \left( -\frac{2}{3} + 2 \right) - \left( \frac{2}{3} - 2 \right) = \frac{4}{3} - \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$.

4) y = 2x² + 1 и y = x + 2, y = 1,5

Данная фигура ограничена тремя линиями. Найдем точки их взаимного пересечения.

1. $y = 2x^2 + 1$ и $y = x + 2$: $2x^2 - x - 1 = 0 \implies x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(2)(-1)}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}$. Точки $x_1 = -0.5$ и $x_2 = 1$.

2. $y = 2x^2 + 1$ и $y = 1.5$: $2x^2 = 0.5 \implies x^2 = 0.25$. Точки $x = -0.5$ и $x = 0.5$.

3. $y = x + 2$ и $y = 1.5$: $x = -0.5$.

Анализ точек пересечения показывает, что фигура ограничена сверху прямой $y=x+2$. Нижняя граница является кусочной: на отрезке $[-0.5, 0.5]$ это прямая $y=1.5$, а на отрезке $[0.5, 1]$ это парабола $y=2x^2+1$.

Поэтому площадь вычисляется как сумма двух интегралов:

$S = S_1 + S_2 = \int_{-0.5}^{0.5} ((x+2) - 1.5) dx + \int_{0.5}^{1} ((x+2) - (2x^2+1)) dx$

$S = \int_{-0.5}^{0.5} (x+0.5) dx + \int_{0.5}^{1} (-2x^2+x+1) dx$

Вычислим первый интеграл:

$S_1 = \left. \left( \frac{x^2}{2} + 0.5x \right) \right|_{-0.5}^{0.5} = \left( \frac{(0.5)^2}{2} + 0.5(0.5) \right) - \left( \frac{(-0.5)^2}{2} + 0.5(-0.5) \right)$

$S_1 = \left( \frac{0.25}{2} + 0.25 \right) - \left( \frac{0.25}{2} - 0.25 \right) = (0.125 + 0.25) - (0.125 - 0.25) = 0.375 - (-0.125) = 0.5 = \frac{1}{2}$.

Вычислим второй интеграл:

$S_2 = \left. \left( -\frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x \right) \right|_{0.5}^{1}$

$S_2 = \left( -\frac{2 \cdot 1^3}{3} + \frac{1^2}{2} + 1 \right) - \left( -\frac{2(0.5)^3}{3} + \frac{(0.5)^2}{2} + 0.5 \right)$

$S_2 = \left( -\frac{2}{3} + \frac{1}{2} + 1 \right) - \left( -\frac{2(0.125)}{3} + \frac{0.25}{2} + 0.5 \right) = \left(\frac{-4+3+6}{6}\right) - \left( -\frac{0.25}{3} + 0.125 + 0.5 \right)$

$S_2 = \frac{5}{6} - \left( -\frac{1}{12} + \frac{1}{8} + \frac{4}{8} \right) = \frac{5}{6} - \left( \frac{-2+3+12}{24} \right) = \frac{5}{6} - \frac{13}{24} = \frac{20 - 13}{24} = \frac{7}{24}$.

Общая площадь равна сумме площадей:

$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{2} + \frac{7}{24} = \frac{12}{24} + \frac{7}{24} = \frac{19}{24}$.

Ответ: $\frac{19}{24}$.