Номер 5.9, страница 47 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5.9. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками заданных функций:

1) $y = x^2 - 4x - 4, y = -x;$

2) $y = 3x^2, y = 2x.$

1)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $y = x^2 - 4x - 4$ и $y = -x$, сначала найдем точки их пересечения. Для этого приравняем выражения для $y$:

$x^2 - 4x - 4 = -x$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета или через дискриминант находим корни:

$x_1 = -1$, $x_2 = 4$

Эти значения являются пределами интегрирования. Теперь определим, какая из функций больше на интервале $(-1, 4)$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $x = 0$.

Для $y = x^2 - 4x - 4$: $y(0) = 0^2 - 4(0) - 4 = -4$.

Для $y = -x$: $y(0) = -0 = 0$.

Поскольку $0 > -4$, на интервале $[-1, 4]$ график функции $y = -x$ лежит выше графика функции $y = x^2 - 4x - 4$.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{-1}^{4} ((-x) - (x^2 - 4x - 4)) dx = \int_{-1}^{4} (-x^2 + 3x + 4) dx$

Вычислим определенный интеграл:

$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 4x \right) \right|_{-1}^{4} = \left( -\frac{4^3}{3} + \frac{3 \cdot 4^2}{2} + 4 \cdot 4 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{3 \cdot (-1)^2}{2} + 4 \cdot (-1) \right) = $

$= \left( -\frac{64}{3} + \frac{48}{2} + 16 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 4 \right) = \left( -\frac{64}{3} + 24 + 16 \right) - \left( \frac{2+9-24}{6} \right) = $

$= \left( -\frac{64}{3} + 40 \right) - \left( -\frac{13}{6} \right) = \frac{-64+120}{3} + \frac{13}{6} = \frac{56}{3} + \frac{13}{6} = \frac{112}{6} + \frac{13}{6} = \frac{125}{6}$

Ответ: $\frac{125}{6}$

2)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $y = 3x^2$ и $y = 2x$, найдем точки их пересечения, приравняв выражения для $y$:

$3x^2 = 2x$

$3x^2 - 2x = 0$

$x(3x - 2) = 0$

Отсюда получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{2}{3}$. Это наши пределы интегрирования.

Определим, какая из функций больше на интервале $(0, \frac{2}{3})$. Возьмем точку из этого интервала, например, $x = \frac{1}{3}$.

Для $y = 3x^2$: $y(\frac{1}{3}) = 3(\frac{1}{3})^2 = 3 \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{3}$.

Для $y = 2x$: $y(\frac{1}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Поскольку $\frac{2}{3} > \frac{1}{3}$, на интервале $[0, \frac{2}{3}]$ график функции $y = 2x$ лежит выше графика функции $y = 3x^2$.

Площадь фигуры $S$ равна интегралу от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{0}^{2/3} (2x - 3x^2) dx$

Вычислим определенный интеграл:

$S = \left. \left( \frac{2x^2}{2} - \frac{3x^3}{3} \right) \right|_{0}^{2/3} = \left. \left( x^2 - x^3 \right) \right|_{0}^{2/3} = \left( \left(\frac{2}{3}\right)^2 - \left(\frac{2}{3}\right)^3 \right) - (0^2 - 0^3) = $

$= \frac{4}{9} - \frac{8}{27} = \frac{12}{27} - \frac{8}{27} = \frac{4}{27}$

Ответ: $\frac{4}{27}$