Номер 5.5, страница 47 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5.5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = 2x^2$, $y = 4x;$

2) $y = x^2$, $y = -2x.$

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = 2x^2$ и $y = 4x$, сначала найдем точки пересечения этих линий, приравняв их уравнения:

$2x^2 = 4x$

$2x^2 - 4x = 0$

$2x(x - 2) = 0$

Отсюда получаем абсциссы точек пересечения $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Это будут пределы интегрирования.

Далее необходимо определить, какая из функций принимает большие значения на интервале $(0, 2)$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $x=1$:

Для параболы $y = 2x^2$: $y(1) = 2(1)^2 = 2$.

Для прямой $y = 4x$: $y(1) = 4(1) = 4$.

Так как $4 > 2$, на интервале $(0, 2)$ график прямой $y = 4x$ находится выше графика параболы $y = 2x^2$.

Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций на отрезке $[0, 2]$:

$S = \int_{0}^{2} (4x - 2x^2) dx$

Вычислим этот интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left( 4\frac{x^2}{2} - 2\frac{x^3}{3} \right) \Big|_{0}^{2} = \left( 2x^2 - \frac{2}{3}x^3 \right) \Big|_{0}^{2}$

$S = \left( 2(2)^2 - \frac{2}{3}(2)^3 \right) - \left( 2(0)^2 - \frac{2}{3}(0)^3 \right)$

$S = \left( 2 \cdot 4 - \frac{2}{3} \cdot 8 \right) - 0 = 8 - \frac{16}{3} = \frac{24 - 16}{3} = \frac{8}{3}$

Ответ: $\frac{8}{3}$

2) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = x^2$ и $y = -2x$, также найдем их точки пересечения:

$x^2 = -2x$

$x^2 + 2x = 0$

$x(x + 2) = 0$

Абсциссы точек пересечения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 0$. Это наши пределы интегрирования.

Определим, какая из функций больше на интервале $(-2, 0)$. Возьмем для проверки точку $x=-1$:

Для параболы $y = x^2$: $y(-1) = (-1)^2 = 1$.

Для прямой $y = -2x$: $y(-1) = -2(-1) = 2$.

Так как $2 > 1$, на интервале $(-2, 0)$ график прямой $y = -2x$ находится выше графика параболы $y = x^2$.

Площадь фигуры равна интегралу от разности верхней и нижней функций на отрезке $[-2, 0]$:

$S = \int_{-2}^{0} (-2x - x^2) dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left( -2\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right) \Big|_{-2}^{0} = \left( -x^2 - \frac{x^3}{3} \right) \Big|_{-2}^{0}$

$S = \left( -0^2 - \frac{0^3}{3} \right) - \left( -(-2)^2 - \frac{(-2)^3}{3} \right)$

$S = 0 - \left( -4 - \frac{-8}{3} \right) = - \left( -4 + \frac{8}{3} \right) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$