Номер 5.1, страница 46 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: 1) $y = 2x + 2$, $y = 0$, $x = 2$; 2) $y = x + 2$, $y = 0$, $x = 2$ (ответ проверьте вычислением по формуле из геометрии).

1) $y = 2x + 2, y = 0, x = 2$

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, мы будем использовать определенный интеграл. Фигура ограничена сверху функцией $y = 2x + 2$, снизу осью абсцисс ($y = 0$), а справа прямой $x = 2$. Левую границу интегрирования найдем, определив точку пересечения прямой $y = 2x + 2$ с осью $y=0$.

$2x + 2 = 0 \implies 2x = -2 \implies x = -1$

Таким образом, площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от функции $y = 2x + 2$ в пределах от $-1$ до $2$.

$S = \int_{-1}^{2} (2x + 2) dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции:

$F(x) = \int (2x + 2) dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 2x = x^2 + 2x$

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = [x^2 + 2x]_{-1}^{2} = (2^2 + 2 \cdot 2) - ((-1)^2 + 2 \cdot (-1)) = (4 + 4) - (1 - 2) = 8 - (-1) = 9$

Проверка вычислением по формуле из геометрии:

Фигура, ограниченная линиями $y = 2x + 2$, $y = 0$ и $x = 2$, является прямоугольным треугольником. Найдем его вершины:

• Точка пересечения $y = 2x + 2$ и $y = 0$: $(-1, 0)$
• Точка пересечения $y = 0$ и $x = 2$: $(2, 0)$
• Точка пересечения $y = 2x + 2$ и $x = 2$: $y = 2(2) + 2 = 6$, точка $(2, 6)$

Основание треугольника лежит на оси Ox и его длина равна $2 - (-1) = 3$.

Высота треугольника — это катет, параллельный оси Oy, его длина равна ординате точки $(2, 6)$, то есть $6$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 9$

Результаты, полученные двумя способами, совпадают.

Ответ: 9

2) $y = x + 2, y = 0, x = 2$

Действуем аналогично первому случаю. Фигура ограничена сверху функцией $y = x + 2$, снизу осью $y = 0$, справа прямой $x = 2$. Найдем левую границу интегрирования из условия пересечения $y = x + 2$ с осью $y=0$.

$x + 2 = 0 \implies x = -2$

Вычисляем площадь как определенный интеграл от функции $y = x + 2$ в пределах от $-2$ до $2$.

$S = \int_{-2}^{2} (x + 2) dx$

Найдем первообразную:

$F(x) = \int (x + 2) dx = \frac{x^2}{2} + 2x$

Вычислим определенный интеграл:

$S = [\frac{x^2}{2} + 2x]_{-2}^{2} = (\frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2) - (\frac{(-2)^2}{2} + 2 \cdot (-2)) = (\frac{4}{2} + 4) - (\frac{4}{2} - 4) = (2 + 4) - (2 - 4) = 6 - (-2) = 8$

Проверка вычислением по формуле из геометрии:

Данная фигура также является прямоугольным треугольником. Его вершины:

• Точка пересечения $y = x + 2$ и $y = 0$: $(-2, 0)$
• Точка пересечения $y = 0$ и $x = 2$: $(2, 0)$
• Точка пересечения $y = x + 2$ и $x = 2$: $y = 2 + 2 = 4$, точка $(2, 4)$

Длина основания треугольника, лежащего на оси Ox, равна $2 - (-2) = 4$.

Высота треугольника равна ординате точки $(2, 4)$, то есть $4$.

Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$

Результаты, полученные интегральным исчислением и геометрически, совпадают.

Ответ: 8