Номер 4.17, страница 39 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

4.17. Используя геометрический смысл определенного интеграла, найдите:

1) $\int_0^2 \sqrt{4-x^2} dx$;

2) $\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2} dx$;

3) $\int_0^2 \sqrt{2x-x^2} dx$;

4) $\int_2^4 \sqrt{4x-x^2} dx$.

1) Интеграл $\int_0^2 \sqrt{4-x^2} dx$ представляет собой площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = \sqrt{4-x^2}$, осью Ox и прямыми $x=0$ и $x=2$.

Уравнение $y = \sqrt{4-x^2}$ (где $y \ge 0$) задает верхнюю полуокружность с центром в точке $(0,0)$ и радиусом $R=2$, так как оно эквивалентно уравнению $x^2 + y^2 = 2^2$. Пределы интегрирования от $0$ до $2$ выделяют область, которая является четвертью этого круга, расположенной в первом координатном квадранте.

Площадь всего круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$.

Значение интеграла равно площади этой четверти круга: $\frac{1}{4} S = \frac{4\pi}{4} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

2) Интеграл $\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2} dx$ представляет собой площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = \sqrt{1-x^2}$ и осью Ox на отрезке $[-1, 1]$.

Уравнение $y = \sqrt{1-x^2}$ (где $y \ge 0$) задает верхнюю полуокружность с центром в точке $(0,0)$ и радиусом $R=1$, так как оно эквивалентно уравнению $x^2 + y^2 = 1^2$. Пределы интегрирования от $-1$ до $1$ соответствуют всей верхней полуокружности.

Площадь всего круга равна $S = \pi R^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$. Значение интеграла равно площади этой полуокружности, то есть половине площади всего круга.

Искомая площадь: $\frac{1}{2} S = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

3) Интеграл $\int_0^2 \sqrt{2x-x^2} dx$ равен площади фигуры под графиком функции $y = \sqrt{2x-x^2}$ на отрезке $[0, 2]$.

Преобразуем подкоренное выражение, чтобы определить форму кривой. Пусть $y = \sqrt{2x-x^2}$ (где $y \ge 0$). Возведя в квадрат, получим $y^2 = 2x - x^2$. Перенесем члены с $x$ влево и выделим полный квадрат: $x^2 - 2x + y^2 = 0 \Rightarrow (x^2 - 2x + 1) + y^2 = 1 \Rightarrow (x-1)^2 + y^2 = 1^2$.

Это уравнение окружности с центром в точке $(1,0)$ и радиусом $R=1$. Поскольку $y \ge 0$, мы рассматриваем верхнюю полуокружность. Пределы интегрирования от $0$ до $2$ полностью покрывают эту полуокружность по оси Ox.

Следовательно, интеграл равен площади полукруга радиуса 1. Площадь всего круга $S = \pi R^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$. Площадь полукруга равна $\frac{1}{2} S = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

4) Интеграл $\int_2^4 \sqrt{4x-x^2} dx$ представляет собой площадь фигуры под графиком функции $y = \sqrt{4x-x^2}$ на отрезке $[2, 4]$.

Рассмотрим уравнение кривой $y = \sqrt{4x-x^2}$ (где $y \ge 0$). Возведем в квадрат: $y^2 = 4x - x^2$. Преобразуем его: $x^2 - 4x + y^2 = 0 \Rightarrow (x^2 - 4x + 4) + y^2 = 4 \Rightarrow (x-2)^2 + y^2 = 2^2$.

Это уравнение окружности с центром в точке $(2,0)$ и радиусом $R=2$. Условие $y \ge 0$ означает, что мы рассматриваем верхнюю полуокружность. Пределы интегрирования от $2$ до $4$ задают правую половину этой полуокружности (от центра до правого края).

Таким образом, искомая площадь является площадью четверти круга радиуса 2. Площадь всего круга $S = \pi R^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$. Площадь четверти круга составляет $\frac{1}{4} S = \frac{4\pi}{4} = \pi$.

Ответ: $\pi$.