Номер 4.14, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

4.14. 1) $\int_{2}^{12} \frac{dx}{\sqrt{3x - 1}};$

2) $\int_{4}^{12} \frac{dx}{\sqrt{2x + 1}};$

3) $\int_{2}^{3} \frac{2x^3 + x^2 + 2x + 1}{1 + x^2} dx;$

4) $\int_{-3}^{-2} \frac{x^3 - x^2 - x + 1}{x^2 - 1} dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{2}^{12} \frac{dx}{\sqrt{3x - 1}}$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3x - 1}}$.

Используем метод замены переменной. Пусть $t = 3x - 1$, тогда $dt = 3dx$, откуда $dx = \frac{dt}{3}$.

$\int \frac{dx}{\sqrt{3x - 1}} = \int \frac{1}{\sqrt{t}} \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int t^{-1/2} dt = \frac{1}{3} \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{3} \sqrt{t} + C$.

Выполнив обратную замену, получаем первообразную: $F(x) = \frac{2}{3} \sqrt{3x - 1}$.

Теперь вычислим определенный интеграл:

$\int_{2}^{12} \frac{dx}{\sqrt{3x - 1}} = \left. \frac{2}{3} \sqrt{3x - 1} \right|_{2}^{12} = \frac{2}{3} (\sqrt{3 \cdot 12 - 1} - \sqrt{3 \cdot 2 - 1}) = \frac{2}{3} (\sqrt{35} - \sqrt{5})$.

Ответ: $\frac{2}{3}(\sqrt{35} - \sqrt{5})$.

2) Для вычисления интеграла $\int_{4}^{12} \frac{dx}{\sqrt{2x + 1}}$ найдем первообразную функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}$ и применим формулу Ньютона-Лейбница.

Сделаем замену: $t = 2x + 1$. Тогда $dt = 2dx$ и $dx = \frac{dt}{2}$.

$\int \frac{dx}{\sqrt{2x + 1}} = \int \frac{1}{\sqrt{t}} \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt = \frac{1}{2} \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = \sqrt{t} + C = \sqrt{2x + 1} + C$.

Теперь вычислим определенный интеграл:

$\int_{4}^{12} \frac{dx}{\sqrt{2x + 1}} = \left. \sqrt{2x + 1} \right|_{4}^{12} = \sqrt{2 \cdot 12 + 1} - \sqrt{2 \cdot 4 + 1} = \sqrt{25} - \sqrt{9} = 5 - 3 = 2$.

Ответ: $2$.

3) Рассмотрим интеграл $\int_{2}^{3} \frac{2x^3 + x^2 + 2x + 1}{1 + x^2} dx$. Перед интегрированием упростим подынтегральную дробь.

Сгруппируем слагаемые в числителе и вынесем общие множители:

$2x^3 + x^2 + 2x + 1 = (2x^3 + 2x) + (x^2 + 1) = 2x(x^2 + 1) + 1(x^2 + 1) = (2x+1)(x^2+1)$.

Тогда подынтегральная функция упрощается: $\frac{(2x+1)(x^2+1)}{1+x^2} = 2x+1$.

Интеграл принимает вид: $\int_{2}^{3} (2x + 1) dx$.

Найдем первообразную: $\int (2x+1) dx = x^2 + x + C$.

Вычислим определенный интеграл:

$\int_{2}^{3} (2x + 1) dx = \left. (x^2 + x) \right|_{2}^{3} = (3^2 + 3) - (2^2 + 2) = (9 + 3) - (4 + 2) = 12 - 6 = 6$.

Ответ: $6$.

4) Рассмотрим интеграл $\int_{-3}^{-2} \frac{x^3 - x^2 - x + 1}{x^2 - 1} dx$. Упростим подынтегральное выражение, разложив числитель и знаменатель на множители.

Знаменатель: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$.

Числитель: $x^3 - x^2 - x + 1 = x^2(x-1) - (x-1) = (x^2-1)(x-1)$.

Сократим дробь. Это преобразование корректно, так как на отрезке интегрирования $[-3, -2]$ знаменатель $x^2-1$ не равен нулю.

$\frac{(x^2-1)(x-1)}{x^2 - 1} = x - 1$.

Интеграл сводится к следующему: $\int_{-3}^{-2} (x - 1) dx$.

Первообразная для $x-1$ это $\frac{x^2}{2} - x$. Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{-3}^{-2} (x - 1) dx = \left. \left(\frac{x^2}{2} - x\right) \right|_{-3}^{-2} = \left(\frac{(-2)^2}{2} - (-2)\right) - \left(\frac{(-3)^2}{2} - (-3)\right) = \left(\frac{4}{2} + 2\right) - \left(\frac{9}{2} + 3\right) = (2+2) - (4.5 + 3) = 4 - 7.5 = -3.5$.

Ответ: $-\frac{7}{2}$.