Номер 4.7, страница 37 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

4.7.1) $\int_1^4 \frac{5\sqrt{x}}{x} dx;$

2) $\int_{-8}^{-3} \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx;$

3) $\int_1^{11} \frac{1}{\sqrt{x+5}} dx;$

4) $\int_{14}^{47} \frac{4}{\sqrt{x+2}} dx.$

1) Вычислим интеграл $ \int_{1}^{4} \frac{5\sqrt{x}}{x} dx $.

Сначала упростим подынтегральное выражение, используя свойства степеней: $ \sqrt{x} = x^{1/2} $.

$ \frac{5\sqrt{x}}{x} = \frac{5x^{1/2}}{x^1} = 5x^{1/2 - 1} = 5x^{-1/2} $.

Теперь найдем первообразную для $ 5x^{-1/2} $. Используем формулу интегрирования степенной функции $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $.

$ \int 5x^{-1/2} dx = 5 \int x^{-1/2} dx = 5 \cdot \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + C = 5 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 10x^{1/2} + C = 10\sqrt{x} + C $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ - первообразная для $ f(x) $.

$ \int_{1}^{4} 5x^{-1/2} dx = [10\sqrt{x}]_{1}^{4} = 10\sqrt{4} - 10\sqrt{1} = 10 \cdot 2 - 10 \cdot 1 = 20 - 10 = 10 $.

Ответ: $ 10 $.

2) Вычислим интеграл $ \int_{-8}^{-3} \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx $.

Перепишем подынтегральное выражение в виде $ (1-x)^{-1/2} $.

Для нахождения первообразной используем метод замены переменной. Пусть $ t = 1-x $, тогда $ dt = (1-x)' dx = -dx $, откуда $ dx = -dt $.

$ \int \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{t}} (-dt) = -\int t^{-1/2} dt = - \frac{t^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + C = - \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = -2\sqrt{t} + C = -2\sqrt{1-x} + C $.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{-8}^{-3} \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx = [-2\sqrt{1-x}]_{-8}^{-3} = (-2\sqrt{1-(-3)}) - (-2\sqrt{1-(-8)}) = (-2\sqrt{1+3}) - (-2\sqrt{1+8}) $.

$ = (-2\sqrt{4}) - (-2\sqrt{9}) = (-2 \cdot 2) - (-2 \cdot 3) = -4 - (-6) = -4 + 6 = 2 $.

Ответ: $ 2 $.

3) Вычислим интеграл $ \int_{1}^{11} \frac{1}{\sqrt{x+5}} dx $.

Перепишем подынтегральное выражение в виде $ (x+5)^{-1/2} $.

Найдем первообразную. Сделаем замену $ t = x+5 $, тогда $ dt = (x+5)' dx = dx $.

$ \int (x+5)^{-1/2} dx = \int t^{-1/2} dt = \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{t} + C = 2\sqrt{x+5} + C $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{1}^{11} \frac{1}{\sqrt{x+5}} dx = [2\sqrt{x+5}]_{1}^{11} = 2\sqrt{11+5} - 2\sqrt{1+5} = 2\sqrt{16} - 2\sqrt{6} $.

$ = 2 \cdot 4 - 2\sqrt{6} = 8 - 2\sqrt{6} $.

Ответ: $ 8 - 2\sqrt{6} $.

4) Вычислим интеграл $ \int_{14}^{47} \frac{4}{\sqrt{x+2}} dx $.

Вынесем константу 4 за знак интеграла и перепишем подынтегральное выражение в степенном виде: $ 4 \int_{14}^{47} (x+2)^{-1/2} dx $.

Найдем первообразную для $ (x+2)^{-1/2} $. Сделаем замену $ t = x+2 $, тогда $ dt = dx $.

$ \int (x+2)^{-1/2} dx = \int t^{-1/2} dt = \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{t} + C = 2\sqrt{x+2} + C $.

Тогда первообразная для исходного выражения $ \frac{4}{\sqrt{x+2}} $ равна $ 4 \cdot 2\sqrt{x+2} = 8\sqrt{x+2} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{14}^{47} \frac{4}{\sqrt{x+2}} dx = [8\sqrt{x+2}]_{14}^{47} = 8\sqrt{47+2} - 8\sqrt{14+2} = 8\sqrt{49} - 8\sqrt{16} $.

$ = 8 \cdot 7 - 8 \cdot 4 = 56 - 32 = 24 $.

Ответ: $ 24 $.