Номер 4.5, страница 37 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Вычислите интегралы (4.5–4.7):

4.5.1)

$\int_0^{\frac{\pi}{12}} \frac{dx}{\cos^2 3x}$;

2) $\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} \frac{dx}{\sin^2 2x}$;

3) $\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} \sin 3xdx$;

4) $\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} \cos 4xdx$.

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \frac{dx}{\cos^2 3x}$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Первообразная для функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2(kx)}$ находится по формуле $\int \frac{dx}{\cos^2(kx)} = \frac{1}{k}\tan(kx) + C$.

В нашем случае $k=3$, поэтому первообразная для $f(x) = \frac{1}{\cos^2 3x}$ равна $F(x) = \frac{1}{3}\tan(3x)$.

Подставим пределы интегрирования:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \frac{dx}{\cos^2 3x} = \left. \frac{1}{3}\tan(3x) \right|_{0}^{\frac{\pi}{12}} = \frac{1}{3}\tan\left(3 \cdot \frac{\pi}{12}\right) - \frac{1}{3}\tan(3 \cdot 0) = \frac{1}{3}\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{3}\tan(0) = \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

2) Вычислим интеграл $\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} \frac{dx}{\sin^2 2x}$.

Первообразная для функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2(kx)}$ находится по формуле $\int \frac{dx}{\sin^2(kx)} = -\frac{1}{k}\cot(kx) + C$.

В данном случае $k=2$, значит, первообразная для $f(x) = \frac{1}{\sin^2 2x}$ есть $F(x) = -\frac{1}{2}\cot(2x)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} \frac{dx}{\sin^2 2x} = \left. -\frac{1}{2}\cot(2x) \right|_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} = \left(-\frac{1}{2}\cot\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right)\right) - \left(-\frac{1}{2}\cot\left(2 \cdot \frac{\pi}{12}\right)\right) = -\frac{1}{2}\cot\left(\frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}\cot\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{2}\left(\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

3) Вычислим интеграл $\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} \sin(3x)dx$.

Первообразная для функции $f(x) = \sin(kx)$ находится по формуле $\int \sin(kx)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$.

Здесь $k=3$, поэтому первообразная для $f(x) = \sin(3x)$ равна $F(x) = -\frac{1}{3}\cos(3x)$.

Используем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} \sin(3x)dx = \left. -\frac{1}{3}\cos(3x) \right|_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} = \left(-\frac{1}{3}\cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{12}\right)\right) - \left(-\frac{1}{3}\cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{18}\right)\right) = -\frac{1}{3}\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \frac{1}{3}\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{6}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{6}$.

4) Вычислим интеграл $\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} \cos(4x)dx$.

Первообразная для функции $f(x) = \cos(kx)$ находится по формуле $\int \cos(kx)dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$.

В этом примере $k=4$, следовательно, первообразная для $f(x) = \cos(4x)$ равна $F(x) = \frac{1}{4}\sin(4x)$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} \cos(4x)dx = \left. \frac{1}{4}\sin(4x) \right|_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{4}\sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{4}\sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \frac{1}{4}\sin(\pi) - \frac{1}{4}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} \cdot 1 = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $-\frac{1}{4}$.