Номер 3.16, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

3.16. На координатной плоскости постройте область, ограниченную графиками функций:

1) $y = x^2 - 2x$ и $y = x$;

2) $y = x + 1$ и $y = \sqrt{x+1}$.

1) $y = x^2 - 2x$ и $y = x$

Для построения области, ограниченной данными графиками, сначала проанализируем каждую функцию.

Функция $y = x^2 - 2x$ — это квадратичная функция, её график — парабола. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$).

Найдем вершину параболы. Координата $x$ вершины вычисляется по формуле $x_v = -b/(2a)$.

$x_v = -(-2) / (2 \cdot 1) = 2 / 2 = 1$.

Координата $y$ вершины: $y_v = (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, -1)$.

Найдем точки пересечения параболы с осью Ox (при $y=0$):

$x^2 - 2x = 0$

$x(x - 2) = 0$

$x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Функция $y = x$ — это линейная функция, её график — прямая, проходящая через начало координат под углом 45 градусов к оси Ox.

Теперь найдем точки пересечения графиков функций $y = x^2 - 2x$ и $y = x$. Для этого приравняем их правые части:

$x^2 - 2x = x$

$x^2 - 3x = 0$

$x(x - 3) = 0$

Отсюда получаем два значения $x$: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в уравнение прямой $y = x$:

При $x_1 = 0$, $y_1 = 0$. Точка пересечения $(0, 0)$.

При $x_2 = 3$, $y_2 = 3$. Точка пересечения $(3, 3)$.

Искомая область заключена между параболой и прямой. На интервале $x \in (0, 3)$ прямая $y=x$ находится выше параболы $y=x^2-2x$ (например, при $x=1$ имеем $y_{прямая}=1$, а $y_{парабола}=-1$).

Таким образом, область ограничена снизу графиком параболы $y = x^2 - 2x$ и сверху графиком прямой $y = x$ на отрезке $x \in [0, 3]$.

Ответ: Искомая область — это фигура, ограниченная снизу параболой $y = x^2 - 2x$ и сверху прямой $y = x$, концами которой являются точки их пересечения $(0, 0)$ и $(3, 3)$.

2) $y = x + 1$ и $y = \sqrt{x + 1}$

Рассмотрим функции, ограничивающие область.

Функция $y = x + 1$ — это линейная функция, её график — прямая, проходящая через точки $(-1, 0)$ и $(0, 1)$.

Функция $y = \sqrt{x + 1}$ — это функция квадратного корня. Область определения: $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. График представляет собой верхнюю ветвь параболы $x = y^2 - 1$, симметричной относительно оси Ox. График начинается в точке $(-1, 0)$ и проходит через точку $(0, 1)$.

Найдем точки пересечения графиков, приравняв их правые части:

$x + 1 = \sqrt{x + 1}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что $x+1 \ge 0$:

$(x + 1)^2 = x + 1$

$(x + 1)^2 - (x + 1) = 0$

$(x + 1)((x + 1) - 1) = 0$

$(x + 1)x = 0$

Отсюда получаем два значения $x$: $x_1 = -1$ и $x_2 = 0$. Оба значения удовлетворяют условию $x+1 \ge 0$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в любое из уравнений (например, $y=x+1$):

При $x_1 = -1$, $y_1 = -1 + 1 = 0$. Точка пересечения $(-1, 0)$.

При $x_2 = 0$, $y_2 = 0 + 1 = 1$. Точка пересечения $(0, 1)$.

Искомая область заключена между прямой и графиком корня. На интервале $x \in (-1, 0)$ график функции $y = \sqrt{x + 1}$ находится выше прямой $y = x + 1$. Например, при $x = -0.75$:

$y_{корень} = \sqrt{-0.75 + 1} = \sqrt{0.25} = 0.5$

$y_{прямая} = -0.75 + 1 = 0.25$

Так как $0.5 > 0.25$, график корня выше.

Таким образом, область ограничена снизу графиком прямой $y = x + 1$ и сверху графиком функции $y = \sqrt{x + 1}$ на отрезке $x \in [-1, 0]$.

Ответ: Искомая область — это фигура, ограниченная снизу прямой $y = x + 1$ и сверху кривой $y = \sqrt{x + 1}$, концами которой являются точки их пересечения $(-1, 0)$ и $(0, 1)$.