Номер 3.11, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

3.11. При каком значении d площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \cos 5x$, $y = 0$, $x = \frac{\pi}{30}$ и $x = d$ $(d < \frac{\pi}{30})$, будет равна 0,2?

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($y=0$), и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$ (где $a<b$), вычисляется с помощью определенного интеграла $S = \int_a^b f(x) \,dx$. Эта формула верна, если функция $f(x)$ неотрицательна ($f(x) \geq 0$) на всем отрезке $[a, b]$.

В нашем случае фигура ограничена линиями $y = \cos(5x)$, $y = 0$, $x = \frac{\pi}{30}$ и $x = d$. По условию задачи $d < \frac{\pi}{30}$, поэтому пределы интегрирования — от $d$ до $\frac{\pi}{30}$. Площадь $S$ должна быть равна 0,2.

Функция $y = \cos(5x)$ является неотрицательной на отрезке $[-\frac{\pi}{10}, \frac{\pi}{10}]$, так как при изменении $x$ в этих пределах аргумент $5x$ изменяется от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$. Верхний предел интегрирования $x = \frac{\pi}{30}$ находится внутри этого отрезка. Чтобы формула для площади была применима без разбиения интеграла, необходимо, чтобы и нижний предел $d$ также находился в этом отрезке, то есть должно выполняться условие $d \geq -\frac{\pi}{10}$.

Составим уравнение, приравняв интеграл от функции к заданной площади:

$S = \int_d^{\frac{\pi}{30}} \cos(5x) \,dx = 0,2$

Сначала найдем первообразную для функции $\cos(5x)$:

$\int \cos(5x) \,dx = \frac{1}{5}\sin(5x) + C$

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_d^{\frac{\pi}{30}} \cos(5x) \,dx = \left[ \frac{1}{5}\sin(5x) \right]_d^{\frac{\pi}{30}} = \frac{1}{5}\sin\left(5 \cdot \frac{\pi}{30}\right) - \frac{1}{5}\sin(5d)$

Упростим полученное выражение:

$\frac{1}{5}\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - \frac{1}{5}\sin(5d) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{5}\sin(5d) = \frac{1}{10} - \frac{1}{5}\sin(5d)$

Приравняем это выражение к заданной площади 0,2 (что равно $\frac{1}{5}$):

$\frac{1}{10} - \frac{1}{5}\sin(5d) = \frac{1}{5}$

Выразим $\sin(5d)$ из этого уравнения:

$\frac{1}{5}\sin(5d) = \frac{1}{10} - \frac{1}{5} = \frac{1}{10} - \frac{2}{10} = -\frac{1}{10}$

$\sin(5d) = 5 \cdot \left(-\frac{1}{10}\right) = -\frac{5}{10} = -\frac{1}{2}$

Теперь решим тригонометрическое уравнение $\sin(5d) = -\frac{1}{2}$.

Общие решения этого уравнения:

$5d = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $5d = \pi - \left(-\frac{\pi}{6}\right) + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Отсюда находим возможные значения для $d$:

$d = -\frac{\pi}{30} + \frac{2\pi k}{5}$ или $d = \frac{7\pi}{30} + \frac{2\pi k}{5}$

Нам нужно выбрать значение $d$, которое удовлетворяет условиям задачи: $d < \frac{\pi}{30}$ и $d \geq -\frac{\pi}{10} = -\frac{3\pi}{30}$.

Рассмотрим первую серию решений при $k=0$:

$d = -\frac{\pi}{30}$. Проверим условия: $-\frac{3\pi}{30} \leq -\frac{\pi}{30} < \frac{\pi}{30}$. Оба условия выполнены. Это кандидат в решения.

Рассмотрим вторую серию решений при $k=-1$:

$d = \frac{7\pi}{30} - \frac{2\pi}{5} = \frac{7\pi}{30} - \frac{12\pi}{30} = -\frac{5\pi}{30} = -\frac{\pi}{6}$. Условие $d < \frac{\pi}{30}$ выполнено, но условие $d \geq -\frac{3\pi}{30}$ не выполнено, так как $-\frac{5\pi}{30} < -\frac{3\pi}{30}$. Это значение $d$ не подходит, так как на части интервала интегрирования $[-\frac{\pi}{6}, -\frac{\pi}{10}]$ функция $\cos(5x)$ была бы отрицательной, и расчет площади был бы другим.

Другие значения $k$ дают значения $d$, которые выходят за рамки требуемого диапазона.

Таким образом, единственное подходящее значение — это $d = -\frac{\pi}{30}$.

Ответ: $d = -\frac{\pi}{30}$