Номер 3.10, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

3.10. Вычислите площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции:

1) $y = -x^2 + x + 6;$

2) $y = -x^2 + 2x + 3;$

3) $y = -2(x - 1)^2 + 8;$

4) $y = -2(x - 3)^2 + 2.$

1) Для вычисления площади фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции $y = -x^2 + x + 6$, необходимо найти точки пересечения графика с осью абсцисс и вычислить определенный интеграл.

Сначала найдем пределы интегрирования, для этого приравняем функцию к нулю:

$-x^2 + x + 6 = 0$

Умножим на -1:

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или дискриминанта. Корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$. Это и будут наши пределы интегрирования.

Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный, ветви параболы направлены вниз, и на интервале $(-2, 3)$ функция принимает положительные значения. Следовательно, искомая площадь $S$ равна:

$S = \int_{-2}^{3} (-x^2 + x + 6) dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции:

$F(x) = \int (-x^2 + x + 6) dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x$

Теперь вычислим значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница $S = F(x_2) - F(x_1)$:

$F(3) = -\frac{3^3}{3} + \frac{3^2}{2} + 6 \cdot 3 = -9 + \frac{9}{2} + 18 = 9 + 4.5 = 13.5 = \frac{27}{2}$

$F(-2) = -\frac{(-2)^3}{3} + \frac{(-2)^2}{2} + 6 \cdot (-2) = -\frac{-8}{3} + \frac{4}{2} - 12 = \frac{8}{3} + 2 - 12 = \frac{8}{3} - 10 = \frac{8 - 30}{3} = -\frac{22}{3}$

$S = F(3) - F(-2) = \frac{27}{2} - (-\frac{22}{3}) = \frac{27}{2} + \frac{22}{3} = \frac{81 + 44}{6} = \frac{125}{6}$

Ответ: $\frac{125}{6}$

2) Для вычисления площади фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции $y = -x^2 + 2x + 3$, найдем точки пересечения графика с осью абсцисс.

Приравняем функцию к нулю:

$-x^2 + 2x + 3 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Это пределы интегрирования.

Ветви параболы направлены вниз, поэтому на интервале $(-1, 3)$ функция $y(x) > 0$. Площадь $S$ вычисляется как:

$S = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx$

Найдем первообразную:

$F(x) = \int (-x^2 + 2x + 3) dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} + 3x = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x$

Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$F(3) = -\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3 \cdot 3 = -9 + 9 + 9 = 9$

$F(-1) = -\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3 \cdot (-1) = \frac{1}{3} + 1 - 3 = \frac{1}{3} - 2 = -\frac{5}{3}$

$S = F(3) - F(-1) = 9 - (-\frac{5}{3}) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{27 + 5}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $\frac{32}{3}$

3) Для вычисления площади фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции $y = -2(x - 1)^2 + 8$, найдем точки пересечения графика с осью.

Решим уравнение $y=0$:

$-2(x - 1)^2 + 8 = 0$

$2(x - 1)^2 = 8$

$(x - 1)^2 = 4$

$x - 1 = \pm 2$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 1 - 2 = -1$ и $x_2 = 1 + 2 = 3$.

Это парабола с вершиной в точке $(1, 8)$ и ветвями, направленными вниз. На интервале $(-1, 3)$ функция положительна.

Площадь $S$ равна:

$S = \int_{-1}^{3} (-2(x - 1)^2 + 8) dx = \int_{-1}^{3} (-2(x^2 - 2x + 1) + 8) dx = \int_{-1}^{3} (-2x^2 + 4x - 2 + 8) dx = \int_{-1}^{3} (-2x^2 + 4x + 6) dx$

Найдем первообразную:

$F(x) = \int (-2x^2 + 4x + 6) dx = -2\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} + 6x = -\frac{2x^3}{3} + 2x^2 + 6x$

Вычислим интеграл:

$F(3) = -\frac{2 \cdot 3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 + 6 \cdot 3 = -18 + 18 + 18 = 18$

$F(-1) = -\frac{2 \cdot (-1)^3}{3} + 2 \cdot (-1)^2 + 6 \cdot (-1) = \frac{2}{3} + 2 - 6 = \frac{2}{3} - 4 = -\frac{10}{3}$

$S = F(3) - F(-1) = 18 - (-\frac{10}{3}) = 18 + \frac{10}{3} = \frac{54 + 10}{3} = \frac{64}{3}$

Ответ: $\frac{64}{3}$

4) Для вычисления площади фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции $y = -2(x - 3)^2 + 2$, найдем точки пересечения графика с осью абсцисс.

Решим уравнение $y=0$:

$-2(x - 3)^2 + 2 = 0$

$2(x - 3)^2 = 2$

$(x - 3)^2 = 1$

$x - 3 = \pm 1$

Получаем два корня: $x_1 = 3 - 1 = 2$ и $x_2 = 3 + 1 = 4$.

Это парабола с вершиной в точке $(3, 2)$ и ветвями, направленными вниз. На интервале $(2, 4)$ функция положительна.

Площадь $S$ равна:

$S = \int_{2}^{4} (-2(x - 3)^2 + 2) dx = \int_{2}^{4} (-2(x^2 - 6x + 9) + 2) dx = \int_{2}^{4} (-2x^2 + 12x - 18 + 2) dx = \int_{2}^{4} (-2x^2 + 12x - 16) dx$

Найдем первообразную:

$F(x) = \int (-2x^2 + 12x - 16) dx = -2\frac{x^3}{3} + 12\frac{x^2}{2} - 16x = -\frac{2x^3}{3} + 6x^2 - 16x$

Вычислим интеграл:

$F(4) = -\frac{2 \cdot 4^3}{3} + 6 \cdot 4^2 - 16 \cdot 4 = -\frac{128}{3} + 96 - 64 = -\frac{128}{3} + 32 = \frac{-128 + 96}{3} = -\frac{32}{3}$

$F(2) = -\frac{2 \cdot 2^3}{3} + 6 \cdot 2^2 - 16 \cdot 2 = -\frac{16}{3} + 24 - 32 = -\frac{16}{3} - 8 = \frac{-16 - 24}{3} = -\frac{40}{3}$

$S = F(4) - F(2) = -\frac{32}{3} - (-\frac{40}{3}) = -\frac{32}{3} + \frac{40}{3} = \frac{8}{3}$

Ответ: $\frac{8}{3}$