Номер 3.4, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

3.4. 1) $y = 1 - x^2$, $y = 0$;

2) $y = -x^2 + 4$, $y = 0$;

3) $y = 3x - x^2$, $y = 0$;

4) $y = 6x - x^2$, $y = 0$.

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = 1 - x^2$ и $y = 0$, сначала найдем точки пересечения этих линий. Для этого приравняем их уравнения:

$1 - x^2 = 0$

$x^2 = 1$

$x_1 = -1$, $x_2 = 1$

Это будут пределы интегрирования. Фигура расположена над осью Ox, так как на интервале $(-1, 1)$ значение функции $y = 1 - x^2$ положительно (например, при $x=0$, $y=1$).

Площадь $S$ вычисляется как определенный интеграл от функции $y = 1 - x^2$ в пределах от -1 до 1:

$S = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx$

Вычисляем интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Первообразная для $1 - x^2$ равна $x - \frac{x^3}{3}$.

$S = \left(x - \frac{x^3}{3}\right) \Big|_{-1}^{1} = \left(1 - \frac{1^3}{3}\right) - \left(-1 - \frac{(-1)^3}{3}\right) = \left(1 - \frac{1}{3}\right) - \left(-1 - \left(-\frac{1}{3}\right)\right) = \frac{2}{3} - \left(-1 + \frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$

2) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = -x^2 + 4$ и $y = 0$. Сначала определим пределы интегрирования, найдя точки пересечения кривых:

$-x^2 + 4 = 0$

$x^2 = 4$

$x_1 = -2$, $x_2 = 2$

На интервале $(-2, 2)$ парабола $y = -x^2 + 4$ находится выше оси Ox (например, при $x=0$, $y=4 > 0$).

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{-2}^{2} (-x^2 + 4) dx$

Найдем первообразную для функции $-x^2 + 4$: $F(x) = -\frac{x^3}{3} + 4x$.

Вычислим интеграл:

$S = \left(-\frac{x^3}{3} + 4x\right) \Big|_{-2}^{2} = \left(-\frac{2^3}{3} + 4 \cdot 2\right) - \left(-\frac{(-2)^3}{3} + 4 \cdot (-2)\right) = \left(-\frac{8}{3} + 8\right) - \left(\frac{8}{3} - 8\right) = \frac{16}{3} - \left(-\frac{16}{3}\right) = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$.

Ответ: $\frac{32}{3}$

3) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 3x - x^2$ и $y = 0$. Определим точки пересечения, чтобы найти пределы интегрирования:

$3x - x^2 = 0$

$x(3 - x) = 0$

$x_1 = 0$, $x_2 = 3$

На интервале $(0, 3)$ парабола $y = 3x - x^2$ находится выше оси Ox (например, при $x=1$, $y=3-1=2 > 0$).

Площадь $S$ вычисляется как интеграл:

$S = \int_{0}^{3} (3x - x^2) dx$

Первообразная для $3x - x^2$ равна $\frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3}$.

Вычислим интеграл:

$S = \left(\frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right) \Big|_{0}^{3} = \left(\frac{3 \cdot 3^2}{2} - \frac{3^3}{3}\right) - (0) = \frac{27}{2} - \frac{27}{3} = \frac{27}{2} - 9 = \frac{27 - 18}{2} = \frac{9}{2}$.

Ответ: $\frac{9}{2}$

4) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 6x - x^2$ и $y = 0$. Определим точки пересечения для нахождения пределов интегрирования:

$6x - x^2 = 0$

$x(6 - x) = 0$

$x_1 = 0$, $x_2 = 6$

На интервале $(0, 6)$ парабола $y = 6x - x^2$ находится выше оси Ox (например, при $x=1$, $y=6-1=5 > 0$).

Площадь $S$ вычисляется как интеграл:

$S = \int_{0}^{6} (6x - x^2) dx$

Первообразная для $6x - x^2$ равна $3x^2 - \frac{x^3}{3}$.

Вычислим интеграл:

$S = \left(3x^2 - \frac{x^3}{3}\right) \Big|_{0}^{6} = \left(3 \cdot 6^2 - \frac{6^3}{3}\right) - (0) = 3 \cdot 36 - \frac{216}{3} = 108 - 72 = 36$.

Ответ: 36